Question

7．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，已知OB=OC=6．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）連接BD，F(xiàn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FAB=∠EDB時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，以線段MN為對(duì)角線作菱形MPNQ，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，且PQ=$\frac{1}{2}$MN時(shí)，求菱形對(duì)角線MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由條件可求得B、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，進(jìn)一步可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，可設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo)，利用△FAG∽△BDE，由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)T為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，設(shè)出PT的長(zhǎng)為n，從而可表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可得到n的方程，可求得n的值，從而可求得MN的長(zhǎng)．

解答 解：
（1）∵OB=OC=6，
∴B（6，0），C（0，-6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×{6}^{2}+6b+c=0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6=$\frac{1}{2}$（x-2）²-8，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-8）；

（2）如圖1，過F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，

設(shè)F（x，$\frac{1}{2}$x²-2x-6），則FG=|$\frac{1}{2}$x²-2x-6|，
在y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6中，令y=0可得$\frac{1}{2}$x²-2x-6=0，解得x=-2或x=6，
∴A（-2，0），
∴OA=2，則AG=x+2，
∵B（6，0），D（2，-8），
∴BE=6-2=4，DE=8，
當(dāng)∠FAB=∠EDB時(shí)，且∠FGA=∠BED，
∴△FAG∽△BDE，
∴$\frac{FG}{BE}$=$\frac{AG}{DE}$，即$\frac{|\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6|}{x+2}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，則有$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6}{x+2}$=$\frac{1}{2}$，解得x=-2（舍去）或x=7，此進(jìn)F點(diǎn)坐標(biāo)為（7，$\frac{9}{2}$）；
當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，則有$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6}{x+2}$=-$\frac{1}{2}$，解得x=-2（舍去）或x=5，此進(jìn)F點(diǎn)坐標(biāo)為（5，-$\frac{7}{2}$）；
綜上可知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，$\frac{9}{2}$）或（5，-$\frac{7}{2}$）；

（3）∵點(diǎn)P在x軸上，
∴由菱形的對(duì)稱性可知P（2，0），
如圖2，當(dāng)MN在x軸上方時(shí)，設(shè)T為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，

∵PQ=$\frac{1}{2}$MN，
∴MT=2PT，
設(shè)PT=n，則MT=2n，
∴M（2+2n，n），
∵M(jìn)在拋物線上，
∴n=$\frac{1}{2}$（2+2n）²-2（2+2n）-6，解得n=$\frac{1+\sqrt{65}}{4}$或n=$\frac{1-\sqrt{65}}{4}$，
∴MN=2MT=4n=$\sqrt{65}$+1；
當(dāng)MN在x軸下方時(shí)，同理可設(shè)PT=n，則M（2+2n，-n），
∴-n=$\frac{1}{2}$（2+2n）²-2（2+2n）-6，解得n=$\frac{-1+\sqrt{65}}{4}$或n=$\frac{-1-\sqrt{65}}{4}$（舍去），
∴MN=2MT=4n=$\sqrt{65}$-1；
綜上可知菱形對(duì)角線MN的長(zhǎng)為$\sqrt{65}$+1或$\sqrt{65}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中證得△FAG∽△BDE，得到關(guān)于F點(diǎn)坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵，注意分F點(diǎn)在x軸上方和下方兩種情況，在（3）中用PT的長(zhǎng)表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．