Question

在平面直角坐標系中，直線y=x+4與x、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點，并與x軸交于另一點C（點C在點A的右側(cè)），點P是拋物線上的一個動點．
（1）求拋物線解析式及點C；
（2）若點P在第二象限內(nèi)，過點P作PD⊥x軸于點D，交AB于點E，當點P運動到什么位置時，PE最長是多少？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出點A、B的坐標，然后代入二次函數(shù)解析式，求出b、c的值，以及點C的坐標；
（2）設P點橫坐標為m，求出P點縱坐標以及點E的縱坐標，求出PE的長度，利用二次函數(shù)求極值的方法求出PE長度的最大值．

解答：解：（1）∵直線y=x+4與x、y軸分別交于A、B兩點，
∴A（-4，0），B（0，4），
將點A、B坐標代入解析式得：

-16-4b+c=0 c=4

，
解得：

b=-3 c=4

，
則二次函數(shù)的解析式為：y=-x²-3x+4，
令-x²-3x+4=0，
解得：x₁=4，x₂=1，
點C坐標為（1，0）；

（2）設P點橫坐標為m，
則縱坐標為-m²-3m+4，
E點縱坐標為m+4，
則PE=-m²-3m+4-（m+4）=-m²-3m+4-m-4=-m²-4m=-（m+2）²+4，
當m=-2時，PE有最大值4，
此時點P縱坐標為6，
故當點P運動到（-2，6）時，PE最長為4．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、一元二次方程的解法及判別式、等腰三角形以及勾股定理等方面知識，涉及考點較多，難度較大．