Question

13．已知，E，F(xiàn)在矩形ABCD的邊BA，AD延長線上．若EB=EF=8，CB=CF=6，求矩形ABCD的面積是$\frac{864}{25}$．

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)得出AD=BC=6，AB=CD，∠EAF=∠CDF=90°，設(shè)AB=CD=x，則AE=BE-AB=8-x，由勾股定理得出AF=$\sqrt{16x-{x}^{2}}$，因此DF=AF-AD=$\sqrt{16x-{x}^{2}}$-6，由勾股定理得出方程，解方程求出AB，即可得出矩形的面積．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠EAF=∠CDF=90°，
設(shè)AB=CD=x，則AE=BE-AB=8-x，
∴AF=$\sqrt{E{F}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-（8-x）^{2}}$=$\sqrt{16x-{x}^{2}}$，
∴DF=AF-AD=$\sqrt{16x-{x}^{2}}$-6，
∵DF²=CF²-CD²，
∴（$\sqrt{16x-{x}^{2}}$-6）²+x²=6²，
解得：x=$\frac{144}{25}$，或x=0（不合題意，舍去），
∴AB=$\frac{144}{25}$，
∴矩形ABCD的面積=BC•AD=6×$\frac{144}{25}$=$\frac{864}{25}$；
故答案為：$\frac{864}{25}$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解決問題的突破口．