Question

4．如圖①是一張可折疊的海綿床的示意圖，這是展開后支撐起來放在地面上的情況．如果折疊起來，床頭部分被折到了床面之下（這里的A、B、C、D各點都是活動的，BC段和EF段都視為床頭部分），其折疊過程可由圖②的變化過程反映出來．經(jīng)測量四邊形ABCD中，AB=6cm，CD=15cm．
（1）活動床頭的固定與折疊的設(shè)計依據(jù)是三角形具有穩(wěn)定性（請?zhí)顚懴鄳?yīng)的數(shù)學(xué)原理）
（2）BC、AD各取多長時，才能實現(xiàn)上述的折疊變化？
（3）折疊床長2m，寬80cm，兩段床頭都有一段半徑為50cm的圓弧，當(dāng)兩端的床頭都折疊到床面之下以后，沿直線PN可以將床再次向下折疊成為完全相等的兩部分．為增加床的承載量，需要在直線PN與床邊的交界處各增加一根床腿（如圖③）．折疊床的包裝盒為長方體，為使包裝盒的長度和高度都最小，床腿PQ以及床頭EF的高度最大為多少？

Answer 1

分析 （1）直接利用三角形的穩(wěn)定性得出答案；
（2）根據(jù)已知圖形得出AC²+CD²=AD²，以及AB+AD=CD+BC，進(jìn)而組成方程組求出即可；
（3）先畫出床頭的示意圖，求出BC，OB，再由床腿PQ最大時，床的上方只有圓弧，EF的高度最大時床腿為15cm求解即可．

解答 解：（1）小床這樣設(shè)計應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是：三角形具有穩(wěn)定性；
故答案為：三角形具有穩(wěn)定性；
（2）由圖2的第一個圖形得：AC²+CD²=AD²，
即（6+BC）²+15²=AD²①，
又由圖2的第三和第四個圖形得：AB+AD=CD+BC，
即6+AD=15+BC②，
聯(lián)立①②組成方程組得：
$\left\{\begin{array}{l}{（6+BC）^{2}+1{5}^{2}=A{D}^{2}}\\{6+AD=15+BC}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{BC=30}\\{AD=39}\end{array}\right.$．
故BC，AD分別取30和39時，才能實現(xiàn)上述變化；
（3）∵如圖為床頭的示意圖，點O為圓心，作OB⊥AD交AD于點B，

∵AD=80cm，
∴AB=40cm，
∵AO=50cm，
∴BO=$\sqrt{A{O}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{5{0}^{2}-4{0}^{2}}$=30cm，
∴BC=50-30=20cm，
∵床長2m，即200cm，
∴對折后，即床的一半為100cm，
∵床腿PQ最大時，床的上方只有圓弧，
∴2PQ=100-20，解得PQ=40cm，
∵CD=15cm．
∴床頭EF的高度最大值為100-2×15-20=50cm．

點評 此題主要考查了幾何變換，涉及折疊問題，勾股定理及方程組等知識，解題的關(guān)鍵是能理解折疊圖，正確的找出床腿PQ以及床頭EF的高度最大時的條件．