Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-$\frac{1}{6}$x²+bx+c過點A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x軸正半軸上的一個動點，M是線段AP的中點，將線段MP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段PB，過點B作x軸的垂線，過點A作y軸的垂線，兩直線交于點D．
（1）求b、c的值；
（2）當(dāng)t為何值時，點D落在拋物線上；
（3）是否存在t，使得以A，B，D為頂點的三角形與△AOP相似？若存在，求此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A、C兩點坐標(biāo)代入拋物線y=-$\frac{1}{6}$x²+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出b，c的值；
（2）先求得M的坐標(biāo)，進而求出點D的坐標(biāo)，然后將D（t+2，4）代入（1）中求出的拋物線的解析式，即可求出t的值；
（3）由于t=8時，點B與點D重合，△ABD不存在，所以分0＜t＜8和t＞8兩種情況進行討論，在每一種情況下，當(dāng)以A、B、D為頂點的三角形與△PEB相似時，又分兩種情況：△BEP∽△ADB與△PEB∽△ADB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出比例式，求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{6}$x²+bx+c過點A（0，4）和C（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-\frac{1}{6}×64+8b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{6}}\\{c=4}\end{array}\right.$．
故所求b的值為$\frac{5}{6}$，c的值為4；

（2）∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=∠EPB=90°-∠APO，
∴△AOP∽△PEB且相似比為$\frac{AO}{PE}$=$\frac{AP}{PB}$=2，
∵AO=4，
∴PE=2，OE=OP+PE=t+2，
又∵DE=OA=4，
∴點D的坐標(biāo)為（t+2，4），
∴點D落在拋物線上時，有-$\frac{1}{6}$（t+2）²+$\frac{5}{6}$（t+2）+4=4，
解得t=3或t=-2，
∵t＞0，
∴t=3．
故當(dāng)t為3時，點D落在拋物線上；

（3）存在t，能夠使得以A、B、D為頂點的三角形與△AOP相似，理由如下：
①當(dāng)0＜t＜8時，如圖1．

若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，
即t：（t+2）=4：（4-$\frac{1}{2}$t），
整理，得t²+16=0，
∴t無解；
若△POA∽△BDA，同理，解得t=-2±2$\sqrt{5}$（負(fù)值舍去）；
②當(dāng)t＞8時，如圖2．

若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，
即t：（t+2）=4：（$\frac{1}{2}$t-4），
解得t=8±4$\sqrt{5}$（負(fù)值舍去）；
若△POA∽△BDA，同理，解得t無解．
綜上可知，當(dāng)t=-2+2$\sqrt{5}$或8+4$\sqrt{5}$時，以A、B、D為頂點的三角形與△AOP相似．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，綜合性較強，難度較大．由相似三角形的判定與性質(zhì)求出點D的坐標(biāo)是解決（2）小題的關(guān)鍵；進行分類討論是解決（3）小題的關(guān)鍵．