Question

17．如圖，已知一次函數(shù)y=-$\frac{3}{4}$x+3的圖象與x軸和y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在AB上，以1個(gè)單位/s的速度從點(diǎn)B向A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D在線段AO上以同樣的速度從點(diǎn)A向O運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間用t（s）表示．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ACD和△AOB相似，并直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）在一次函數(shù)解析式中分別令y=0和x=0，則可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理可求得AB的長(zhǎng)；
（2）用t可分別表示出AC和AD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，則可求得D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{3}{4}$x+3中，令y=0可得-$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=4，令x=0可得y=3，
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5；
（2）由題意可知BC=AD=t，則AC=AB-BC=5-t，
∵△ACD和△AOB相似，
∴有CD⊥OA和CD⊥AB兩種情況，
①當(dāng)CD⊥OA時(shí)，則有$\frac{AD}{OA}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{t}{4}$=$\frac{5-t}{5}$，解得t=$\frac{20}{9}$，
∴OD=OA-AD=4-$\frac{20}{9}$=$\frac{16}{9}$，
∴D（$\frac{16}{9}$，0）；
②當(dāng)CD⊥AB時(shí)，則有$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AC}{OA}$，即$\frac{t}{5}$=$\frac{5-t}{4}$，解得t=$\frac{25}{9}$，
∴OD=OA-AD=4-$\frac{25}{9}$=$\frac{11}{9}$，
∴D（$\frac{11}{9}$，0）；
綜上可知當(dāng)t的值為$\frac{20}{9}$或$\frac{25}{9}$，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{16}{9}$，0）或（$\frac{11}{9}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)、方程思想和分類討論思想等知識(shí)．在（1）中利用一次函數(shù)解析式求得OA、OB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在（2）中用t表示出AD和AC的長(zhǎng)，利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)相對(duì)不多，綜合性較強(qiáng)，難度不大．