Question

14．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，BC∥DA，過AC的中點O作一條直線分別與AB、CD交于點M、N，點E、F在直線MN上，且OE=OF．
（1）圖中共有幾對全等三角形，請把它們都寫出來；
（2）求證：∠MAE=∠NCF．

Answer 1

分析 （1）圖中的全等三角形有△ABC≌△CDA，△AOE≌△COF，△AME≌△CNF，△AOM≌△CON，根據(jù)全等三角形的判定方法一一判斷即可．
（2）利用（1）中結(jié)論即可證明．

解答 （1）解：圖中的全等三角形有△ABC≌△CDA，△AOE≌△COF，△AME≌△CNF，△AOM≌△CON，
理由：∵AB∥CD，BC∥DA，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，BC=AD，
在△ABC和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AC=CA}\\{BC=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDA，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∵AB∥CD，
∴∠OAM=∠OCN，
在△OAM和△OCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAM=∠OCN}\\{∠AOM=∠CON}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△OAM≌△OCN，
∴AM=CN，OM=ON，
∵OE=OF，
∴EM=NF，
在△AME和△CNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=CN}\\{AE=CF}\\{EM=FN}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△CNF．

（2）證明：由（1）可知△AME≌△CNF，
∴∠MAE=∠NCF．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，注意不能漏解，屬于中考�？碱}型．