Question

7．如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O作OE⊥CD，垂足為E，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段OE′，已知OE=12，sin∠BAC=$\frac{12}{13}$．
（1）求AC的長；
（2）當F為射線ED上任意一點（點F不與點E重合）時，連接OF，將線段OF繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OF′．試判斷直線E′F′與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；
（3）在（2）的條件下，設EF=x，S_△AEF=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形得到∠OCE=∠BAC，利用三角函數(shù)即可；
（2）由△EOF≌△E′OF′，得到∠F′E′O=∠OEF=90°，從而判斷出垂直；
（3）分三種情況討論（a）當點F在線段EG上時，可得y=$\frac{1}{2}$x（12-x）=-$\frac{1}{2}$x²+6x，x的取值范圍為0＜x＜12．（b）當點F在EG的延長線上時，y=$\frac{1}{2}$x（x-12）=$\frac{1}{2}$x²-6x，x的取值范圍為x＞12．（c）當點F與點G重合時，△E′FF′不存在．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AC=2OC，
∴∠OCE=∠BAC，
∴sin∠OCE=sin∠BAC=$\frac{12}{13}$．
在Rt△OCE中，
∵OE=12，
∴OC=13．
∴AC=2OC=26；
（2）垂直；
證明：∠EOF=∠E′OF′．
又∵OE=OE′，OF=OF′，
∴△EOF≌△E′OF′，
∴∠F′E′O=∠OEF=90°，
∴E′F′所在的直線與OE平行，
∴直線E′F′與直線CD的位置關(guān)系是垂直．
（3）設直線E′F′
與直線CD的交點為G．易得四邊形OEGE′是正方形，
∴EG=12．
（a）當點F在線段EG上時，
可得y=$\frac{1}{2}$x（12-x）=-$\frac{1}{2}$x²+6x，x的取值范圍為0＜x＜12．
（b）當點F在EG的延長線上時，
y=$\frac{1}{2}$x（x-12）=$\frac{1}{2}$x²-6x，x
的取值范圍為x＞12．
（c）當點F與點G重合時，△E′FF′不存在．
綜上所述：y與x的函數(shù)關(guān)系式為
y=-$\frac{1}{2}$x²+6x（0＜x＜12）和y=$\frac{1}{2}$x²-6x（x＞12）．

點評 此題是幾何變換的綜合題，主要考查旋轉(zhuǎn)中的動點問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的靈活運用是解本題的關(guān)鍵．