Question

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P為BC邊上任意一點(diǎn)，以AP為邊作正方形APMN，F(xiàn)為正方形APMN的中心，連結(jié)BF，直接寫出BF與CP的數(shù)量關(guān)系

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：連接AC、AF、PF、BQ，過P作PQ⊥AC于Q，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠BFP=∠BQP，∠FBP=∠QPB，根據(jù)全等三角形的判定推出兩三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出BF=PQ，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可得出答案．

解答：解：
連接AC、AF、PF、BQ，過P作PQ⊥AC于Q，
∵四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)為正方形APMN的中心，
∴∠ACB=∠APF=45°，∠AFP=∠ABC=90°，
∴A、F、B、P四點(diǎn)共圓，
∴∠ABF=∠ABF=45°，∠BFP=∠BAP，
同理∠ABP=∠AQP=90°，
∴∠ABP+∠AQP=180°，
∴∠BAP=∠BQP，
∴∠BFP=∠PQB，
∵PQ⊥AC，
∴∠QPC=∠ACB=45°，
∴∠FBP=∠QPB=90°+45°=135°，
在△FBP和△QPB中，

∠BFP=∠PQB ∠FBP=∠QPB BP=BP

∴△FBP≌△QPB（AAS），
∴BF=PQ，
∵∠PQC=90°，∠ACB=∠QPC=45°，
∴PQ=

2

2

CP，
∴BF=

2

2

CP，
故答案為：BF=

2

2

CP．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度．