Question

20．如果關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的是②③（寫出所有正確說法的序號）
①方程x²-x-2=0是倍根方程．
②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，則4m²+5mn+n²=0；
③若點（p，q）在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，則關(guān)于x的方程px²+3x+q=0是倍根方程；
④若方程ax²+bx+c=0是倍根方程，且相異兩點M（1+t，s），N（4-t，s）都在拋物線y=ax²+bx+c上，則方程ax²+bx+c=0的一個根為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 ①解方程x²-x-2=0得：x₁=2，x₂=-1，得到方程x²-x-2=0不是倍根方程，故①錯誤；②由（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$，得到$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，∴m+n=0或4m+n=0于是得到4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0，故②正確；③由點（p，q）在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，得到pq=2，解方程px²+3x+q=0得：x₁=-$\frac{1}{p}$，x₂=-$\frac{2}{p}$，故∴③正確；④由方程ax²+bx+c=0是倍根方程，得到x₁=2x₂，由相異兩點M（1+t，s），N（4-t，s）都在拋物線y=ax²+bx+c上，∴
得到拋物線的對稱軸x=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{1+t+4-t}{2}$=$\frac{5}{2}$，于是求出x₁=$\frac{5}{3}$，故④錯誤．

解答 解：①解方程x²-x-2=0得：x₁=2，x₂=-1，
∴方程x²-x-2=0不是倍根方程，故①錯誤；
②∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$，
∴$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，
∴m+n=0，4m+n=0，
∵4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0，故②正確；
③∵點（p，q）在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，
∴pq=2，
解方程px²+3x+q=0得：x₁=-$\frac{1}{p}$，x₂=-$\frac{2}{p}$，
∴x₂=2x₁，故③正確；
④∵方程ax²+bx+c=0是倍根方程，
∴設(shè)x₁=2x₂，
∵相異兩點M（1+t，s），N（4-t，s）都在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴拋物線的對稱軸x=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{1+t+4-t}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴x₁+x₂=5，
∴x₂+2x₂=5，
∴x₂=$\frac{5}{3}$，故④錯誤．
故答案為：②③．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，反比例函數(shù)圖形上點的坐標特征，二次函數(shù)圖形上點的坐標特征，正確的理解“倍根方程”的定義是解題的關(guān)鍵．