Question

4．如圖1，Rt△ABC中，BC=6，AC=8，∠C=90°，點D、E分別為AC、AB上的點，且AE=2DC，點F為AD的中點，過點D作AB的平分線交EF的延長線于點G，連接GA、DE、DB．
（1）證明：四邊形GAED是平行四邊形；
（2）填空：當四邊形GEBD是平行四邊形時，AE的長度為5；
（3）如圖2，當GE∥CB時，四邊形GAED是什么特殊四邊形？寫出證明過程并求出此時AE的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定；
（2）由四邊形GEBD是平行四邊形，得到GE∥BD，根據(jù)平行線等分線段定理得到結(jié)果；
（3）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形證得，再由平行線分線段成比例列方程求解．

解答 解：（1）證明：∵DG∥AE，
∴∠G=∠AE○G，∠GDF=∠A，
在△GFD與△AFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠AEG}\\{∠GDF=∠A}\\{DF=AF}\end{array}\right.$，
∴△GFD≌△AFE，
∴GF=EF，
∵DF=AF，
∴四邊形GAEF是平行四邊形；

（2）當四邊形GEBD是平行四邊形時，
GE∥BD，
∵AF=DF，
∴AE=EB=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}{+6}^{2}}$=10，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=5，
故答案為：5；

（3）當GE∥CB時，四邊形GAED是菱形，
∵GE∥BC，BC⊥AC，
∴GE⊥AC，
由（1）證得四邊形GAED是平行四邊形，
∴?GAED是菱形，
∵AE=2CD，AD=8-CD，
∴AF=$\frac{8-CD}{2}$，
∵EF∥BC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{\frac{8-CD}{2}}{8}$=$\frac{2CD}{10}$，解得：CD=$\frac{40}{21}$，
∴AE=$\frac{80}{21}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，菱形的判定，平行線等分線段定理等知識點．