Question

5．已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G．
（1）如圖1，若四邊形ABCD是平行四邊形，當∠B+∠EGC=180°時，求證：$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$；
（2）如圖2，若∠BAD=90°，連接AC，使得CA平分∠BCD，tan∠BCA=$\frac{4}{3}$，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，且DE⊥CF，試探究DE與CF的數量關系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）當∠B+∠EGC=180°時，$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$成立，證△DFG∽△DEA，得出$\frac{DE}{AD}$=$\frac{DF}{DG}$，證△CGD∽△CDF，得出$\frac{DF}{DG}$=$\frac{CF}{CD}$，即可得出答案；
（2）作BH⊥AC于H，AM⊥CD于M，CN⊥AD于N，則∠BHC=∠BHA=∠CNA=∠AMC=90°，由三角函數得出BH：CH=4：3，BH：AH=1：2，設BH=20，則CH=15，AH=40，AC=55，由三角函數和角平分線定義得出tan∠DCA=$\frac{AM}{CM}$=tan∠BCA=$\frac{4}{3}$，得出AM=44，CM=33，證出∠ACN=∠BAC，得出tan∠ACN=$\frac{AN}{CN}$=tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，設AN=x，則CN=2x，由勾股定理得出方程，解方程AN=11$\sqrt{5}$，CN=22$\sqrt{5}$，證明△ADE∽△NCF，得出對應邊成比例$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{NC}$，再證明△CDN∽△ADM，得出$\frac{DN}{DM}=\frac{CN}{AM}=\frac{22\sqrt{5}}{44}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，設DN=$\sqrt{5}$a，則DM=2a，由△ACD的面積得出AD•CN=CD•AM，得出方程，解方程求出DN=11$\sqrt{5}$，得出AD=NC，即可得出結論．

解答 解：（1）當∠B+∠EGC=180°時，$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$成立．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B+∠EGC=180°，
∴∠A=∠EGC=∠FGD，
∵∠FDG=∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{DF}{DG}$，
∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，
∴∠CGD=∠CDF，
∵∠GCD=∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴$\frac{DF}{DG}$=$\frac{CF}{CD}$，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CF}{CD}$，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$，
即當∠B+∠EGC=180°時，$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$成立；
（2）DE=CF；理由如下：
作BH⊥AC于H，AM⊥CD于M，CN⊥AD于N，如圖所示：
則∠BHC=∠BHA=∠CNA=∠AMC=90°，
∵tan∠BCA=$\frac{4}{3}$，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，
∴BH：CH=4：3，BH：AH=1：2，
設BH=20，則CH=15，AH=40，
∴AC=55，
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA，
∴tan∠DCA=$\frac{AM}{CM}$=tan∠BCA=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AM}{AC}═\frac{4}{5}$，$\frac{CM}{AC}=\frac{3}{5}$，
∴AM=$\frac{4}{5}$AC=44，CM=$\frac{3}{5}$AC=33，
∵∠BAD=90°，CN⊥AD，
∴CN∥AB，
∴∠ACN=∠BAC，
∴tan∠ACN=$\frac{AN}{CN}$=tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，
設AN=x，則CN=2x，
由勾股定理得：x²+（2x）²=55²，
解得：x=11$\sqrt{5}$，
∴AN=11$\sqrt{5}$，CN=22$\sqrt{5}$，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴△ADE∽△NCF，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{NC}$，
∵∠CND=∠AMD=90°，∠CDN=∠ADM，
∴△CDN∽△ADM，
∴$\frac{DN}{DM}=\frac{CN}{AM}=\frac{22\sqrt{5}}{44}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
設DN=$\sqrt{5}$a，則DM=2a，
∵△ACD的面積=$\frac{1}{2}$AD•CN=$\frac{1}{2}$CD•AM，
∴AD•CN=CD•AM，
即22$\sqrt{5}$（11$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$a）=44（33+2a），
解得：a=11，
∴DM=22，DN=11$\sqrt{5}$，
∴AD=AN+DN=22$\sqrt{5}$，
∴AD=NC，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{NC}$=1，
∴DE=CF．

點評 本題是相似形綜合題目，考查了勾股定理、平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質、三角函數、三角形面積的計算等知識；本題綜合性強，難度較大，特別是（2）中，需要通過作輔助線運用勾股定理和兩次證明三角形相似才能得出結論．