Question

9．如圖，在△ABC中，點D是AB的中點，連接CD，CD=BD，tan∠CDB=$\frac{24}{7}$，在BC上取一點F，使BF=$\frac{1}{2}$AB，連接DF，過點D作DE⊥DF交AC于點E，且AE=1，則BC=$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 由點D是AB的中點且CD=BD、BF=$\frac{1}{2}$AB知AD=BD=CD=BF，即∠ACB=90°，作CH⊥BD，設CH=24x，依次可得DH=7x、CD=AD=BD=BF=25x、BH=18x、BC=30x、AC=40x，作DM⊥BC、DG⊥AC，易證△DEG∽△DFM得$\frac{EG}{FM}$=$\frac{DG}{DM}$=$\frac{3}{4}$，由FM=10x可得EG=$\frac{15}{2}$x，繼而知AG=AE+EG=1+$\frac{15}{2}$x，根據(jù)$\frac{AG}{AD}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$可求得x的值，從而得出答案．

解答 解：∵點D是AB的中點，且CD=BD、BF=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD=BD=CD=BF，
∴∠ACB=90°，
如圖，過點C作CH⊥BD于點H，

∵tan∠CDB=$\frac{CH}{DH}$=$\frac{24}{7}$，
∴設CH=24x，則DH=7x，
∴CD=AD=BD=BF=25x，BH=18x，
∴BC=30x，
∴AC=40x，
過點D作DM⊥BC于點M，作DG⊥AC于點G，
∴∠DGE=∠DMF=∠GDM=90°，
∴∠GDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDG+∠GDF=90°，
∴∠EDG=∠FDM，
∴△DEG∽△DFM，
∴$\frac{EG}{FM}$=$\frac{DG}{DM}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}AC}$=$\frac{15x}{20x}$=$\frac{3}{4}$，
∵FM=BF-BM=25x-15x=10x，
∴EG=$\frac{15}{2}$x，
∴AG=AE+EG=1+$\frac{15}{2}$x，
∵$\frac{AG}{AD}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{\frac{15}{2}x+1}{25x}$=$\frac{4}{5}$，解得：x=$\frac{2}{25}$，
∴BC=30x=$\frac{12}{5}$，
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點評 本題主要考查解直角三角形、相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理等知識點，通過角的正切值構建直角三角形，設未知數(shù)表示出各邊長度是解題的關鍵．