Question

9．（1）如圖1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，試說(shuō)明AB與CD的位置關(guān)系，并予以證明；
（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，AB的下方點(diǎn)P滿(mǎn)足∠ABP=30°，G是CD上任一點(diǎn)，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列結(jié)論：①∠DGP-∠MGN的值不變；②∠MGN的度數(shù)不變．可以證明，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你作出正確的選擇并求值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠BAC．再由∠1=∠2可知∠BAC=∠2，故可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠1=∠BPG+∠B，再由PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP可得出∠GPQ=$\frac{1}{2}$∠BPG，∠MGP=$\frac{1}{2}$∠DGP．根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠DGP，∠NGP=∠GPQ=$\frac{1}{2}$∠BPG，再利用等量代換即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）AB∥CD．理由如下：
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠BAC．
∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠2，
∴AB∥CD；

（2）如圖，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠1=∠BPG+∠B，
∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，
∴∠GPQ=$\frac{1}{2}$∠BPG，∠MGP=$\frac{1}{2}$∠DGP．
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DGP，
∴∠MGP=$\frac{1}{2}$（∠BPG+∠B）．
∵PQ∥GN，
∴∠NGP=∠GPQ=$\frac{1}{2}$∠BPG，
∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=$\frac{1}{2}$（∠BPG+∠B）-$\frac{1}{2}$∠BPG=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴②∠MGN的度數(shù)為15°不變．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，熟知內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行是解答此題的關(guān)鍵．