Question

如圖，△ABC的面積為1，分別取AC、BC兩邊的中點A₁、B₁，記四邊形A₁ABB₁的面積為S₁；再分別取A₁C、B₁C的中點A₂、B₂，記四邊形A₂A₁B₁B₂的面積為S₂；再分別取A₂C、B₂C的中點A₃、B₃，依次取下去…
（1）由已知，可求得S₁=

 

，S₂=

 

，S₁₀₀=

 

；
（2）利用這一圖形，計算

3

4100

+

3

4101

+

3

4102

+…+

3

4200

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：規(guī)律型

分析：（1）首先計算出第一個和第二個、第三個三角形的面積找到規(guī)律即可求出問題的答案；
（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律計算即可．

解答：解：（1）∵A₁、B₁分別是AC、BC兩邊的中點，
且△ABC的面積為1，
∴△A₁B₁C的面積為1×

1

4

=

1

4

．
∴四邊形A₁ABB₁的面積=△ABC的面積-△A₁B₁C的面積=

3

4

=1-

1

4

；
∴四邊形A₂A₁B₁B₂的面積=△A₁B₁C的面積-△A₂B₂C的面積=

1

4

-

1

42

=

3

42

．
…，
∴第n個四邊形的面積=

3

4n

，
∴S₁₀₀=

3

4100

．
故答案為：

3

4

，

3

42

，

3

4100

；
（2）由（1）可知：

3

4100

+

3

4101

+

3

4102

+…+

3

4200

=（

1

499

-

1

4100

+

1

4100

-

1

4101

…-

1

4200

）=

1

499

-

1

4200

．

點評：本題考查了三角形的中位線性質(zhì)定理和相似三角形的性質(zhì)，同時也考查了學(xué)生通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力．