Question

4．如圖，拋物線y=（x-1）²+n與x軸交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，-3），點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．
（1）求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo)；
（2）點P是拋物線對稱軸上的一動點，當(dāng)△PAC的周長最小時，求出點P的坐標(biāo)；
（3）點Q在x軸上，且∠ADQ=∠DAC，請直接寫出點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求出n，利用對稱性C、D關(guān)于對稱軸對稱即可求出點D坐標(biāo)．
（2）A，P，D三點在同一直線上時△PAC的周長最小，求出直線AD的解析式即可解決問題．
（3）分兩種情形①作DQ∥AC交x軸于點Q，此時∠DQA=∠DAC，滿足條件．②設(shè)線段AD的垂直平分線交AC于E，直線DE與x的交點為Q′，此時∠Q′DA=′CAD，滿足條件，分別求解即可．

解答 解：（1）把C（0，-3）代入y=（x-1）²+n，得，-3=（0-1）²+n，
解得n=-4，
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²-4，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
∵點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∴點D的坐標(biāo)為（2，-3）．

（2）連接PA、PC、PD

∵點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱
∴PC=PD
∴AC+PA+PC=AC+PA+PD…（5分）
∵AC為定值，PA+PD≥AD
∴當(dāng)PA+PC的值最小，即A，P，D三點在同一直線上時△PAC的周長最小，
由y=（x-1）²-4=0解得，x₁=-1，x₂=3，
∵A在B的左側(cè)，∴A（-1，0），
由A，D兩點坐標(biāo)可求得直線AD的解析式為y=-x-1，
當(dāng)x=1時，y=-x-1=-2，
∴當(dāng)△PAC的周長最小時，點P的坐標(biāo)為（1，-2），

（3）如圖2中，

①作DQ∥AC交x軸于點Q，此時∠DQA=∠DAC，滿足條件．
∵A（-1，0），C（0，-3），
∴直線AC的解析式為y=-3x-3，
∴直線QD的解析式為y=-3x+3，
令y=0得x=1，
∴Q（1，0）．
②設(shè)線段AD的垂直平分線交AC于E，直線DE與x的交點為Q′，此時∠Q′DA=′CAD，滿足條件，
∵直線AD的解析式為y=-x-1，
∴線段AD的中垂線是解析式為y=x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=-3x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{4}}\\{y=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴E（-$\frac{1}{4}$，-$\frac{9}{4}$），
∴直線DE的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{7}{3}$，
令y=0得到x=-7，
∴Q′（-7，0）．
綜上所述，Q點坐標(biāo)為（1，0）或（-7，0）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、最小值問題、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用對稱解決最短問題，學(xué)會分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．