Question

已知，如圖，矩形BCED的兩個頂點在⊙O上，過O作BC的垂線交BC于H，交⊙O于A，連AB，AC．
（1）求證：AB=AC；
（2）若AB=BD=2，求⊙O的周長．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)垂徑定理即可證得；
（2）延長AO交⊙O于F，連接DF，從而證得四邊形ABDF是等腰梯形，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角證得∠ABF=90°，然后通過等腰三角形和平行線的性質(zhì)即可證得∠AFB=30°，根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半即可求得直徑，進(jìn)而求得周長．

解答：（1）證明：∵OA是⊙O的半徑，OA⊥BC，
∴OA平分BC，
∴AB=AC；
（2）解：如圖，延長AO交⊙O于F，連接DF，
∵BD⊥BC，OA⊥BC，
∴BD∥AF，
∴DF=AB，∠DBF=∠BFA，
∵AB=BD=2，
∴AB=BD=DF=2，
∴四邊形ABDF是等腰梯形，
∴∠BAF=∠DFA，
連接BF，
∵AF是直徑，
∴∠ABF=90°，
∵BD=DF，
∴∠DBF=∠DFB，
∴∠DFB=∠AFB，
設(shè)∠DFB=∠AFB=∠DBF=x，
∴∠BAF=2x，
∵∠ABD+∠BAF=180°，
∴x+90°+2x=180°，解得x=30°，
∴∠AFB=30°，
∴AF=2AB=2×2=4，
∴⊙O的周長=4π．

點評：本題考查了垂徑定理、直徑所對的圓周角的性質(zhì)，等腰梯形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及30°所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)等，作出輔助線構(gòu)建等腰梯形以及直角三角形是關(guān)鍵．