Question

18．從反思中總結(jié)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)重要的學(xué)習(xí)方法．例如，我們?cè)谌�等學(xué)習(xí)中所總結(jié)的“一線三等角、K型全等”這一基本圖形，可以使得我們?cè)谟^察新問(wèn)題的時(shí)候很迅速地聯(lián)想，從而借助已有經(jīng)驗(yàn)，迅速解決問(wèn)題．
（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCD是正方形，且D（0，2），點(diǎn)E是線段OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，M是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)O、B），作MN⊥DM，垂足為M，且MN=DM．設(shè)OM=a，請(qǐng)你利用基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)（2+a，a）（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）基本經(jīng)驗(yàn)有利有弊，當(dāng)基本經(jīng)驗(yàn)有利于新問(wèn)題解決的時(shí)候，這是基本經(jīng)驗(yàn)的正遷移；當(dāng)基本經(jīng)驗(yàn)所形成的思維定勢(shì)局限了新問(wèn)題的思考，讓新問(wèn)題解決不出來(lái)的時(shí)候，這是基本經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移．例如，如果（1）的條件去掉“且MN=DM”，加上“交∠CBE的平分線與點(diǎn)N”，如圖2，求證：MD=MN．如何突破這種定勢(shì)，獲得問(wèn)題的解決，請(qǐng)你寫(xiě)出你的證明過(guò)程．
（3）如圖3，請(qǐng)你繼續(xù)探索：連接DN交BC于點(diǎn)F，連接FM，下列兩個(gè)結(jié)論：①FM的長(zhǎng)度不變；②MN平分∠FMB，請(qǐng)你指出正確的結(jié)論，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作NE⊥OB于E，只要證明△DMO△MNE即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，在OD上取OH=OM，連接HM，只要證明△DHM≌△MBN即可．
（3）結(jié)論：MN平分∠FMB成立．如圖3中，在BO延長(zhǎng)線上取OA=CF，過(guò)M作MP⊥DN于P，因?yàn)椤螻MB+∠CDF=45°，所以只要證明∠FMN+∠CDF=45°即可解決問(wèn)題．

解答 （1）解：如圖1中，作NE⊥OB于E，

∵∠DMN=90°，
∴∠DMO+∠NME=90°，∠NME+∠MNE=90°，
∴∠DMO=∠MNE，
在△DMO和△MNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOM=∠NEM=90°}\\{∠DMO=∠MNE}\\{DM=MN}\end{array}\right.$，
∴△DMO△MNE，
∴ME=DO=2，NE=OM=a，
∴OE=OM+ME=2+a，
∴點(diǎn)N坐標(biāo)（2+a，a），
故答案為N（2+a，a）．
（2）證明：如圖2中，在OD上取OH=OM，連接HM，

∵OD=OB，OH=OM，∴HD=MB，∠OHM=∠OMH，
∴∠DHM=180°-45°=135°，
∵NB平分∠CBE，∴∠NBE=45°，
∴∠NBM=180°-45°=135°，∴∠DHM=∠NBM，
∵∠DMN=90°，∴∠DMO+∠NMB=90°，
∵∠HDM+∠DMO=90°，
∴∠HDM=∠NMB，
在△DHM和△MBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HDM=∠NMB}\\{DH=MB}\\{∠DHM=∠NBM}\end{array}\right.$，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM=MN．                                
（3）結(jié)論：MN平分∠FMB成立．
證明：如圖3中，在BO延長(zhǎng)線上取OA=CF，

在△AOD和△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DO=DC}\\{∠DOA=∠C=90°}\\{OA=CF}\end{array}\right.$
∴△DOA≌△DCF，
∴AD=DF，∠ADO=∠CDF，
∵∠MDN=45°，
∴∠CDF+∠ODM=45°，
∴∠ADO+∠ODM=45°，
∴∠ADM=∠FDM，
在△DMA和△DMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DM}\\{∠MDA=∠MDF}\\{DA=DF}\end{array}\right.$，
∴△DMA≌△DMF，
∴∠DFM=∠DAM=∠DFC，
過(guò)M作MP⊥DN于P，則∠FMP=∠CDF，
由（2）可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°，
∵∠NMB=∠MDO，∠MDO+∠CDF=45°，
∴∠NMB=∠NMF，即MN平分∠FMB．
（在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，F(xiàn)M=AM，顯然AM的長(zhǎng)度是變化的，故FM的長(zhǎng)度是變化的或取兩個(gè)特殊位置，比較AM的值即可發(fā)現(xiàn)結(jié)論）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，記住一些基本圖形，可以使得我們?cè)谟^察新問(wèn)題的時(shí)候很迅速地聯(lián)想，屬于中考?jí)狠S題．