Question

13．如圖，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象如圖所示，在第一象限內(nèi)的圖象上是否存在一定P，使過點P所作的兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的四邊形的面積為2？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 如圖，設(shè)直線y=kx+b（k≠0）交x軸與A，交y軸與B，過P作PE⊥x軸與E，PF⊥y軸與F，由于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象，過點A（2，0）、B（0，3），于是得到直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+3；設(shè)P的坐標為（x，-$\frac{3}{2}$x+3），則S_矩形OEPF=OE•OF=x•（-$\frac{3}{2}$x+3）=2，整理得：3x²-6x+4=0，由于此方程無實數(shù)根，于是判定不存在點P，使過點P所作的兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的四邊形的面積為2．

解答 解：如圖，設(shè)直線y=kx+b（k≠0）交x軸與A，交y軸與B，
過P作PE⊥x軸與E，PF⊥y軸與F，
∵一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象，
過點A（2，0）、B（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+3；
設(shè)P的坐標為（x，-$\frac{3}{2}$x+3），
則S_矩形OEPF=OE•OF=x•（-$\frac{3}{2}$x+3）=2，
整理得：3x²-6x+4=0，
∵△=36-48＜0，
∴此方程無實數(shù)根，
∴不存在點P，使過點P所作的兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的四邊形的面積為2．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求解析式，矩形的面積的求法，熟練掌握和運用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征是解題的關(guān)鍵．