Question

1．已知PA、PB切圓O于A、B兩點(diǎn)，過P作割線，交圓O于C、D，過B作BE∥CD，連結(jié)AE交PD于M，求證：M為DC的中點(diǎn)．

Answer 1

分析 連接OP，AB，OA，OM，OE，作OH⊥AE于點(diǎn)H，由平行線的性質(zhì)和圓周角定理可得∠4=∠2=∠3，由切線的性質(zhì)可得PO⊥AB，易得∠OPM=∠MAO，可得P，O，M，A四點(diǎn)共圓，由圓周角定理可得∠PMO=90°，由垂徑定理得CM=DM，得出結(jié)論．

解答 證明：連接OP，AB，OA，OM，OE，作OH⊥AE于點(diǎn)H，
∵BE∥CD，
∴∠1=∠2，∠1=∠4，
∵$∠3=\frac{1}{2}∠AOE$，$∠1=\frac{1}{2}∠AOE$，
∴∠1=∠3，
∴∠4=∠2=∠3，
∵PA，PB是⊙O的切線，
△PAB為等腰三角形，∠APO=∠BPO，
∴PO⊥AB，
∵OH⊥AE，
∴∠OPM=∠MAO，
∴P，O，M，A四點(diǎn)共圓，
∵OA⊥PA，
∴PO為直徑，
∴∠PMO=90°，即OM⊥CD，
∴CM=DM，
即M為CD的中點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，四點(diǎn)共圓，垂徑定理，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，運(yùn)用四點(diǎn)共圓，垂徑定理是解答此題的關(guān)鍵．