Question

13．如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，直線EF經(jīng)過點O，交AD于E，交BC于F，且AF⊥BC
（1）求證：OE=OF；
（2）求證：四邊形AFCE是矩形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線性質(zhì)得出OA=OC，∠OAE=∠OCF，證△AOE≌△COF，推出OE=OF；
（2）由矩形的定義即可得出四邊形是矩形．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠OCF}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，

（2）由（1）知，OE=OF．
又OA=OC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵AF⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∴四邊形AFCE是矩形．

點評 本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．