Question

5．自學(xué)：如圖1，△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，則△ABD與△ADC有一個(gè)相同的高，它們的面積之比等于相應(yīng)的底之比，記為$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BD}{DC}$．
（△ABD，△ADC的面積分別用記號S_△ABD，S_△ADC表示）
心得：如圖1，若BD=$\frac{1}{2}$DC，則S_△ABD：S_△ADC=1：2
成長：如圖2，△ABC中，M，N分別是AB，AC邊上一點(diǎn)，且有AM：MB=2：1，AN：NC=1：1，則△AMN與△ABC的面積比為1：3．
巔峰：如圖3，△ABC中，P，Q，R分別是BC，CA，AB邊上的點(diǎn)，且AP，BQ，CR相交于點(diǎn)O，現(xiàn)已知△BPO，△PCO，△COQ，△AOR的面積依次為40，30，35，84，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 心得：根據(jù)兩個(gè)三角形有一個(gè)相同的高，它們的面積之比等于相應(yīng)的底之比進(jìn)行計(jì)算即可；
成長：連接BN，根據(jù)題意求出S_△ANB=S_△CNB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，S_AMN=$\frac{2}{3}$S_△ANB，計(jì)算即可；
巔峰：設(shè)△BRO和△AOQ的面積分別為x、y，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可．

解答 解：心得：∵BD=$\frac{1}{2}$DC，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ABD：S_△ADC=1：2，
故答案為：1：2；
成長：如圖②．連接BN，
∵AN：NC=1：1，
∴S_△ANB=S_△CNB=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∵AM：MB=2：1，
∴S_AMN=$\frac{2}{3}$S_△ANB，
∴△AMN與△ABC的面積比為1：3，
故答案為：1：3；
巔峰：設(shè)△BRO和△AOQ的面積分別為x、y，
∵△BPO，△PCO的面積分別為40，30，
∴$\frac{BP}{PC}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△APB}}{{S}_{△APC}}$=$\frac{4}{3}$，即$\frac{84+x+40}{30+35+y}$=$\frac{4}{3}$，
$\frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{△QOC}}$=2，
∴OB=2OQ，
∴$\frac{{S}_{△ABO}}{{S}_{△AQO}}$=2，即$\frac{84+x}{y}$=2，
則$\left\{\begin{array}{l}{4y-3x=108}\\{2y-x=84}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=60}\\{y=72}\end{array}\right.$，
∴△ABC的面積為：40+30+35+84+60+72=321．

點(diǎn)評 本題開車的是三角形的面積計(jì)算，掌握兩個(gè)三角形有一個(gè)相同的高，它們的面積之比等于相應(yīng)的底之比是解題的關(guān)鍵．