Question

11．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點(diǎn)M是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，且△MAC為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）將拋物線向右平移h（h＞0）個(gè)單位，所得新拋物線與x軸交于點(diǎn)A₁、B₁，與原拋物線的交點(diǎn)為P，連結(jié)PA₁、PB₁，當(dāng)△PA₁B₁的面積為2時(shí)，求此時(shí)h的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求得a的值，從而可得到拋物線的解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸為x=-$\frac{2a}$=1，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，m）．依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：AC=$\sqrt{10}$，AM=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，CM=$\sqrt{1+（m+3）^{2}}$，然后分為AC=CM、AM=CM、AC=AM三種情況列方程求解即可；
（3）先求得AB的長(zhǎng)，然后依據(jù)平行的性質(zhì)可得到A₁B₁=AB=4，依據(jù)三角形的面積公式可求得p_y=1或p_y=-1．將y=1和y=-1分別代入拋物線的解析式，從而可求得點(diǎn)P平移前后的坐標(biāo)，由點(diǎn)P平移前和平移后的坐標(biāo)可確定出平移的距離．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：-3a=-3，解得a=1，
拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）拋物線的對(duì)稱軸為x=-$\frac{2a}$=1，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，m）．
依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：AC=$\sqrt{10}$，AM=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，CM=$\sqrt{1+（m+3）^{2}}$．
當(dāng)AC=AM時(shí)，$\sqrt{10}$=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，解得m=±$\sqrt{6}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）．
當(dāng)AC=CM時(shí)，$\sqrt{10}$=$\sqrt{1+（m+3）^{2}}$，解得：m=0或m=-6，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（1，-6）．
當(dāng)AM=CM時(shí)，$\sqrt{4+{m}^{2}}$=$\sqrt{1+（m+3）^{2}}$，解得m=1，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1）．
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）或（1，0）或（1，-6）或（1，1）．

（3）∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4．
由平移的性質(zhì)可知A₁B₁=AB=4．
∵△△PA₁B₁的面積為2，
∴$\frac{1}{2}$A₁B₁•|p_y|=2，即$\frac{1}{2}$×4×|p_y|=2，解得|p_y|=1．
∴p_y=1或p_y=-1．
將y=1代入得：x²-2x-3=1，解得：x=$\sqrt{5}$+1或x=-$\sqrt{5}$+1．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{5}$+1，1），平移前點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\sqrt{5}$+1，1）
∴h=（$\sqrt{5}$+1）-（-$\sqrt{5}$+1）=2$\sqrt{5}$．
將y=-1代入得：x²-2x-3=-1，解得：x=$\sqrt{3}$+1或x=-$\sqrt{3}$+1．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$+1，1），平移前點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$+1，1）
∴h=（$\sqrt{3}$+1）-（-$\sqrt{3}$+1）=2$\sqrt{3}$．
綜上所述，當(dāng)h=2$\sqrt{5}$或h=2$\sqrt{3}$時(shí)，△PA₁B₁的面積為2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題只要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于m的方程是解答問題（2）的關(guān)鍵，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而確定出平移前點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是解答問題（3）的關(guān)鍵．