Question

如圖，將△ADC繞AC的中點O旋轉180°，得到△CBA，分別在AC上取點E、F，使得AE=CF，連接DE、BF．
（1）求證：△ADE≌△CBF；
（2）連接BE、DF，求證：四邊形DEBF是平行四邊形；
（3）當△ADC滿足

 

條件時，平行四邊形DEBF是菱形？（直接填條件，不用證明）

Answer 1

考點：旋轉的性質,全等三角形的判定與性質,平行四邊形的判定,菱形的判定

專題：證明題

分析：（1）根據旋轉的性質得到AD=CB，∠DAC=∠BCA，而AE=CF，根據全等三角形的判定方法易得△ADE≌△CBF；
（2）連BE、CF，由于△ADE≌△CBF，根據全等三角形的性質得到DE=BF，∠AED=∠BFC，根據等角的補角相等可得∠DEF=∠BFE，則DE∥BF，根據平行四邊形的判定即可得到結論；
（3）當DA=DC時，則∠DAE=∠DCF，易整得△DAE≌△DCF，得到DE=DF，根據菱形的判定即可得到平行四邊形DEBF是菱形．

解答：（1）證明：∵△ADC繞AC的中點O旋轉180°，得到△CBA，
∴AD=CB，∠DAC=∠BCA，
在△ADE和△CBF中，
∵

AD=CB ∠DAE=∠BCF AE=CF

，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）證明：連BE、CF，
∵△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，∠AED=∠BFC，
∵∠DEF=180°-∠AED，∠BFE=180°-∠BFC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形；

（3）當DA=DC時，平行四邊形DEBF是菱形．理由如下：
∵DA=DC，
∴∠DAE=∠DCF，
在△DAE和△DCF中，
∵

DA=DC ∠DAE=∠DCF AE=CF

，
∴△DAE≌△DCF，
∴DE=DF，
∴平行四邊形DEBF是菱形．
故答案為：DA=DC．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定以及菱形的判定．