Question

9．已知直線y=$\frac{1}{2}$x+2與y軸交于點(diǎn)A，與雙曲線y=$\frac{6}{x}$有一個(gè)交點(diǎn)為B（2，3），將直線AB向下平移，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C，D，與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，若$\frac{CD}{DP}$=$\frac{1}{2}$，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），．

Answer 1

分析 設(shè)D的坐標(biāo)為（0，m），根據(jù)平行線分線段成比例定理得出$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$，然后根據(jù)$\frac{CD}{DP}$=$\frac{1}{2}$，求得PM的值，從而求得P的坐標(biāo)，代入直線解析式即可求得m的值．

解答 解；當(dāng)D點(diǎn)在y軸的正半軸時(shí)，如圖1所示，
設(shè)D的坐標(biāo)為（0，m），
∵將直線AB向下平移，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C，D，
∴CD∥AB，
∴直線CD的解析式為y=$\frac{1}{2}x$+m，
作PM⊥x軸于M，
∴PM∥y軸，
①P在第一象限時(shí)，$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$，
∵$\frac{CD}{DP}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$=$\frac{1}{3}$，
∴PM=3OD=3m，
∵P是雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，
∴P（$\frac{2}{m}$，3m），
∴3m=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{m}$+m，
解得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴m＞0，
∴D（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
②P在第三象限時(shí)，$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$，
∵$\frac{CD}{DP}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$=1，
∴PM=OD=m，
∵P是雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，
∴P（-$\frac{6}{m}$，-m），
∴-m=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{6}{m}$）+m，
解得m=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴m＞0，
∴D（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）；

當(dāng)D點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸時(shí)，如圖2所示，
作PM⊥x軸于M，
∴PM∥y軸，
③P在第一象限時(shí)，$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$，
∵$\frac{CD}{DP}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$=1，
∴PM=OD=m，
∵P是雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，
∴P（-$\frac{6}{m}$，-m），
∴-m=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{6}{m}$）+m，
解得m=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴m＜0，
∴D（0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）；
④P在第三象限時(shí)，$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$，
∵$\frac{CD}{DP}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$=$\frac{1}{3}$，
∴PM=3OD=3m，
∵P是雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，
∴P（-$\frac{2}{m}$，-3m），
∴-3m=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{2}{m}$）+m，
解得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴m＜0，
∴D（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；

綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
故答案為（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，平移的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．