Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=2cm，∠BAD=120°，P為AD的中點，在直線AD下方作∠BPE=120°，使邊PE與等腰梯形的某一邊所在直線相交于點E．
（1）畫出所有符合題意的示意圖，并說明以點B、P、E為頂點的三角形是否與△ABP相似？
（2）求△BPA的面積．

Answer 1

考點：等腰梯形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）分點E在CD上時，根據(jù)等腰梯形同一底上的兩個角相等可得∠D=∠BAD=120°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠ABP=∠DPE，然后根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似求出△ABP和△DPE相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出

BP

PE

=

AB

PD

=2，再根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例夾角相等兩三角形相似求解即可；點E在直線BC上時，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠APB=∠PBE，然后利用兩組角對應(yīng)相等兩三角形相似證明；
（2）求出∠ABC=60°，然后求出等腰梯形的高，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：（1）如圖1，點E在CD上時，
∵P為AD的中點，AB=AD，
∴AB=2AP=2PD，
∵等腰梯形ABCD中，∠BAD=120°，
∴∠D=∠BAD=120°，
∵∠BPE=120°，
∴∠ABP+∠BAD=∠BPE+∠DPE，
∴∠ABP=∠DPE，
∴△ABP∽△DPE，
∴

BP

PE

=

AB

PD

=2，
又∵∠BAD=∠BPE=120°，
∴△ABP∽△PBE；
如圖2，點E在直線BC上時，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBE，
又∵∠BAD=∠BPE=120°，
∴△ABP∽△PBE；

（2）∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴梯形的高=AB•

3

2

=2×

3

2

=

3

cm，
∵AD=2，點P是AD的中點，
∴AP=

1

2

×2=1，
∴△BPA的面積=

1

2

×1×

3

=

3

2

cm²．

點評：本題考查了等腰梯形，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，難點在于（1）先利用相似三角形求出對應(yīng)邊成比例，然后再判斷出另兩個三角形相似．