Question

如圖，∠BAC=∠DAF=90°，AB＝AC，AD＝AF，點D、E為BC邊上的兩點，且∠DAE＝45°，連接EF、BF，則下列結論：

①△AED≌△AEF

②△AED為等腰三角形

③BE＋DC＞DE

④BE2＋DC2=DE2 ，

其中正確結論的個數是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

 

Answer 1

C

【解析】

試題分析：：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．在△AED與△AEF中，AD=AF，∠DAE=∠FAE=45°，AE=AE，∴△AED≌△AEF（SAS），①正確；②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABE=∠C=45°．∵點D、E為BC邊上的兩點，∠DAE=45°，∴AD與AE不一定相等，②錯誤；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD與△ABF中，AC=AB，∠CAD=∠BAF，AD=AF，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正確；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．在Rt△BEF中，由勾股定理，得，∵BF=DC，EF=DE，∴，④正確．所以正確的結論有①③④．故選C．

考點：1．等腰直角直角三角形的性質；2．全等三角形的判定與性質；3．勾股定理．