Question

3．已知拋物線y=x²-2mx+m²+m-1（m是常數(shù)）的頂點為P，直線l：y=x-1．
（1）求證：點P在直線l上；
（2）當m=-3時，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，與直線l的另一個交點為Q，M是x軸下方拋物線上的一點，∠ACM=∠PAQ（如圖），求點M的坐標；
（3）若以拋物線和直線l的兩個交點及坐標原點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的m的值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法得到y(tǒng)=（x-m）²+m-1，點P（m，m-1），然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征判斷點P在直線l上；
（2）當m=-3時，拋物線解析式為y=x²+6x+5，根據(jù)拋物線與x軸的交點問題求出A（-5，0），易得C（0，5），通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+6x+5}\\{y=x-1}\end{array}\right.$得P（-3，-4），Q（-2，-3），作ME⊥y軸于E，PF⊥x軸于F，QG⊥x軸于G，如圖，證明Rt△CME∽Rt△PAF，利用相似得$\frac{ME}{AF}$=$\frac{CE}{PF}$，設M（x，x²+6x+5），則$\frac{-x}{2}$=$\frac{-{x}^{2}-6x}{4}$，解得x₁=0（舍去），x₂=-4，于是得到點M的坐標為（-4，-3）；
（3）通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m-1}\\{y=x-1}\end{array}\right.$得P（m，m-1），Q（m+1，m），利用兩點間的距離公式得到PQ²=2，OQ²=2m²+2m+1，OP²=2m²-2m+1，然后分類討論：當PQ=OQ時，2m²+2m+1=2；當PQ=OP時，2m²-2m+1=2；當OP=OQ時，2m²+2m+1=2m²-2m+1，再分別解關于m的方程求出m即可．

解答 （1）證明：∵y=x²-2mx+m²+m-1=（x-m）²+m-1，
∴點P的坐標為（m，m-1），
∵當x=m時，y=x-1=m-1，
∴點P在直線l上；
（2）解：當m=-3時，拋物線解析式為y=x²+6x+5，
當y=0時，x²+6x+5=0，解得x₁=-1，x₂=-5，則A（-5，0），
當x=0時，y=x²+6x+5=5，則C（0，5），
可得解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+6x+5}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
則P（-3，-4），Q（-2，-3），
作ME⊥y軸于E，PF⊥x軸于F，QG⊥x軸于G，如圖，
∵OA=OC=5，
∴△OAC為等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°，
∴∠MCE=45°-∠ACM，
∵QG=3，OG=2，
∴AG=OA-OG=3=QG，
∴△AQG為等腰直角三角形，
∴∠QAG=45°，
∵∠APF=90°-∠PAF=90°-（∠PAQ+45°）=45°-∠PAQ，
∵∠ACM=∠PAQ，
∴∠APF=∠MCE，
∴Rt△CME∽Rt△PAF，
∴$\frac{ME}{AF}$=$\frac{CE}{PF}$，
設M（x，x²+6x+5），
∴ME=-x，CE=5-（x²+6x+5）=-x²-6x，
∴$\frac{-x}{2}$=$\frac{-{x}^{2}-6x}{4}$，
整理得x²+4x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=-4，
∴點M的坐標為（-4，-3）；
（3）解：解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m-1}\\{y=x-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{y=m-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=m+1}\\{y=m}\end{array}\right.$，則P（m，m-1），Q（m+1，m），
∴PQ²=（m+1-m）²+（m-m+1）²=2，OQ²=（m+1）²+m²=2m²+2m+1，OP²=m²+（m-1）²=2m²-2m+1，
當PQ=OQ時，2m²+2m+1=2，解得m₁=$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，m₂=$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$；
當PQ=OP時，2m²-2m+1=2，解得m₁=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，m₂=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$；
當OP=OQ時，2m²+2m+1=2m²-2m+1，解得m=0，
綜上所述，m的值為$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，0．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)，會求拋物線與直線的交點坐標；理解坐標與圖形性質(zhì)，會利用兩點間的距離公式計算線段的長；會運用相似比計算線段的長；能運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．