Question

16．如圖（1），正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，連結(jié)EB，過點(diǎn)A作AM⊥BE，垂足為M，AM與BD相交于點(diǎn)F．
（1）求證：OE=OF；
（2）如圖（2）若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AM⊥BE于點(diǎn)M，AM交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其他條件不變，結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)對(duì)角線垂直且平分，得到OB=OA，又因?yàn)锳M⊥BE，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，從而求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．
（2）根據(jù)第一步得到的結(jié)果以及正方形的性質(zhì)得到OB=OA，再根據(jù)已知條件求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形．
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA=∠AFO．
在△BOE和△AOF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠AOF}\\{BO=AO}\\{∠BEO=∠AFO}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE=OF．

（2）OE=OF成立．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF=90°，
∠E+∠OBE=90°，
又∵∠MBF=∠OBE，
∴∠F=∠E．
在△BOE和△AOF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠AOF}\\{BO=AO}\\{∠F=∠E}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE=OF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，將待求線段放到兩個(gè)三角形中，通過證明三角形全等得到對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．