Question

3．已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑記為r，p=$\frac{1}{2}$（a+b+c），求證：△ABC面積S=rp．

Answer 1

分析 如圖，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，作ID⊥AB于D，IE⊥BC于E，IF⊥AC于F，連接IA、IB、IC，根據(jù)S_△ABC=S_△AIB+S_△CIB+S_△AIC進行計算即可得到結(jié)論．

解答 證明：如圖，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，作ID⊥AB于D，IE⊥BC于E，IF⊥AC于F，連接IA、IB、IC，
∵⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，
∴ID=IE=IF=r，
∵S_△AIB=$\frac{1}{2}$AB•ID，S_△CIB=$\frac{1}{2}$BC•IE，S_△AIC=$\frac{1}{2}$AC•IF，
∴S_△ABC=S_△AIB+S_△CIB+S_△AIC=$\frac{1}{2}$cr+$\frac{1}{2}$ar+$\frac{1}{2}$br=$\frac{1}{2}$r（a+b+c）=pr．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點，解題的關(guān)鍵是學會利用分割法求三角形面積，屬于中考�？碱}型．