Question

15．閱讀下面材料：
小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC（其中∠BAC是一個可以變化的角）中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC，求AP的最大值．

小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合．他的方法是以點B為旋轉中心將△ABP逆時針旋轉60°得到△A′BC，連接A′A，當點A落在A′C上時，此題可解（如圖2）．
（1）請你回答：AP的最大值是6．
（2）參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：
如圖3，等腰Rt△ABC．邊AB=4，P為△ABC內部一點，請寫出求AP+BP+CP的最小值長的解題思路．
提示：要解決AP+BP+CP的最小值問題，可仿照題目給出的做法．把△ABP繞B點逆時針旋轉60，得到△A′BP′．
①請畫出旋轉后的圖形
②請寫出求AP+BP+CP的最小值的解題思路（結果可以不化簡）．

Answer 1

分析 （1）由旋轉得到△A′BC，有△A′BA是等邊三角形，當點A′A、C三點共線時，A′C=AA′+AC，最大即可；
（2）由旋轉得到結論PA+PB+PC=P₁A₁+P₁B+PC，只有，A₁、P₁、P、C四點共線時，（P₁A+P₁B+PC）最短，即線段A₁C最短，根據勾股定理，即可．

解答 解：（1）∵△ABP逆時針旋轉60°得到△A′BC，
∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C
∴△A′BA是等邊三角形，
∴A′A=AB=BA′=2，
在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，
則當點A′A、C三點共線時，A′C=AA′+AC，
即AP=6，
即AP的最大值是：6；
故答案是：6．
（2）①旋轉后的圖形如圖1；

②如圖2，

∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．
以B為中心，將△APB逆時針旋轉60°得到△A₁P₁B．則A₁B=AB=BC=4，PA=P₁A₁，PB=P₁B，
∴PA+PB+PC=P₁A₁+P₁B+PC．
∵當A₁、P₁、P、C四點共線時，（P₁A+P₁B+PC）最短，即線段A₁C最短，
∴A₁C=PA+PB+PC，
∴A₁C長度即為所求．
過A₁作A₁D⊥CB延長線于D．
∵∠A₁BA=60°（由旋轉可知），
∴∠A₁BD=30°．
∵A1B=4，
∴A₁D=2，BD=2$\sqrt{3}$
∴CD=4+2$\sqrt{3}$；
在Rt△A₁DC中，A₁C=$\sqrt{{A}_{1}{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（4+2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了圖形的旋轉的性質，畫出圖形是解本題的關鍵，也是難點．