Question

觀察下面的變形規(guī)律（閱讀材料）：
①

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…，
②

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)，

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)，

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)，…；…．
解答下面的問(wèn)題：
（1）若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想

1

n(n+1)

=

 

；
（2）受（1）小問(wèn)啟發(fā)，請(qǐng)你解方程：

1

x(x+1)

+

1

x+1

=2；
（3）若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想

1

n(n+3)

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分式的加減法,解分式方程

專題：閱讀型

分析：（1）根據(jù)①中式子的變化得出

1

n(n+1)

的值；
（2）利用①中變化規(guī)律進(jìn)而化簡(jiǎn)分式，進(jìn)而解分式方程求出即可；
（3）利用①②中式子變化規(guī)律進(jìn)而猜想得出答案．

解答：解：（1）∵

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…，
∴

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
故答案為：

1

n

-

1

n+1

；

（2）

1

x(x+1)

+

1

x+1

=2，
∴

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

=2，
∴

1

x

=2，
解得：x=

1

2

，
檢驗(yàn)：當(dāng)x=

1

2

時(shí)，x（x+1）≠0，
∴x=

1

2

是原方程的根；

（3）∵①

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…，
②

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)，

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)，

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)，…；
∴

1

n(n+3)

=

1

3

（

1

n

-

1

n+3

）．
故答案為：

1

3

（

1

n

-

1

n+3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了數(shù)據(jù)變化規(guī)律以及分式的加減以及分式方程的解法，根據(jù)已知得出數(shù)據(jù)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．