Question

13．如圖（1），拋物線W₁：y=-x²+4x與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為A，拋物線W₂與W₁關(guān)于x軸對稱，頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線W₂的解析式；
（2）將拋物線W₂向右平移m個(gè)單位，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D′，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′，則當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOD′B′為矩形？請直接寫出m的值．
（3）在（2）的條件下，將△AOD′沿x軸的正方向向右平移n個(gè)單位（0＜n＜5），得到△A′O′D′′，AD′分別與O′A′、O′D′′交于點(diǎn)M、點(diǎn)P，A′D′′分別與AB′、B′D′交于點(diǎn)N、點(diǎn)Q．
①求當(dāng)n為何值時(shí)，四邊形MNQP為菱形？
②若四邊形MNQP的面積為S，求S關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式；并求當(dāng)n為何值時(shí)，S的值最大？最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）把二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式即可得到點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），由拋物線W₂與W₁關(guān)于x軸對稱，得到點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，-4），于是得到拋物線W₂的解析式；（2）根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），得到直線OA=2x，求得直線OD′的解析式為y=-$\frac{4}{2+m}$x，由于AO⊥OD′，得到2×（-$\frac{4}{2+m}$）=-1，于是得到結(jié)論；
（3）①當(dāng)y=0時(shí)，解方程得到x₁=0，x₂=4．得到點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），得到OB′=10；設(shè)矩形AOD′B′的對角線AD′與OB′交于點(diǎn)E，A′D′′與x軸交于點(diǎn)F．根據(jù)矩形的性質(zhì)AE=OE=B′E=D′E=5，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EMO′=∠MO′E，∠EO′P=∠EPO′，推出四邊形MEFN，EPQF為平行四邊形．四邊形MNQP為平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
②過M作MH⊥x軸，垂足為H，過A作AG⊥x軸，垂足為G，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得到MH=$\frac{4}{5}$（5-n），根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由y=-x²+4x=-（x-2）²+4得，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），
∵拋物線W₂與W₁關(guān)于x軸對稱，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，-4），
∴拋物線W₂的解析式為y=（x-2）²-4，即y=x²-4x，

（2）∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），
∴直線OA=2x，
∵點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，-4），
∴D′（2+m，-4），
∴直線OD′的解析式為y=-$\frac{4}{2+m}$x，
∵四邊形AOD′B′為矩形，
∴AO⊥OD′，
∴2×（-$\frac{4}{2+m}$）=-1，
∴m=6，
∴當(dāng)m的值為6時(shí)，四邊形AOD′B′為矩形；

（3）①當(dāng)y=0時(shí)，-x²+4x=0，解得x₁=0，x₂=4．
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），
又∵m=6，
∴B′坐標(biāo)為（10，0），
∴OB′=10；
設(shè)矩形AOD′B′的對角線AD′與OB′交于點(diǎn)E，A′D′′與x軸交于點(diǎn)F．．
∵四邊形AOD′B′為矩形，
∴AE=OE=B′E=D′E=5，
∴∠OAE=∠AOE，∠EOD′=∠DOE．
∵A′O′∥AO，O′D′′∥OD′，
∴∠EMO′=∠MO′E，∠EO′P=∠EPO′，
∴ME=EO′=EP，
∵OE=5，OO′=n，
∴O′E=5-n，
∴ME=EP=5-n．
同理NF=FQ=FB′=5-n．
∵M(jìn)P∥NQ，
∴四邊形MEFN，EPQF為平行四邊形．
∴MN∥EF∥PQ，
∴四邊形MNQP為平行四邊形，
∴當(dāng)MN=MP時(shí)，四邊形MNQP為菱形．
∵M(jìn)N=AA′=n，MP=2O′E=10-2n．
∴n=10-2n．
解得n=$\frac{10}{3}$．
∴當(dāng)n=$\frac{10}{3}$時(shí)，四邊形MNQP為菱形；

②過M作MH⊥x軸，垂足為H，過A作AG⊥x軸，垂足為G，
則△MHE∽△AGE，
∴$\frac{MH}{ME}=\frac{AG}{AE}$，
∴$\frac{MH}{5-n}$=$\frac{4}{5}$，
∴MH=$\frac{4}{5}$（5-n），
∴S=2S_□MEFN=2×$\frac{4}{5}$（5-n）-n=-$\frac{8}{5}$n²+8n，
∵S=-$\frac{8}{5}$（n-$\frac{5}{2}$）²+10，∵-$\frac{8}{5}$＜0，
∴當(dāng)n=$\frac{5}{2}$時(shí)，S的值最大，最大值為10．

點(diǎn)評 本題考查了求二次函數(shù)的解析式，軸對稱的性質(zhì)，矩形，菱形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最大值問題，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．