Question

3．如圖，在正方形ABCD中，AB=4$\sqrt{2}$，AC與BD相交于點O，點P是AC上一動點，點E為射線BC上的一點，且PB=PE，過點E作EF⊥AC，垂足為點F．
（1）當點F在線段AC上時，求PF=BO；
（2）設AP=x，△PBE的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）是否存在這樣的P點，使得△PBE的面積是△ABC面積的$\frac{3}{8}$？如果存在，求出AP的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出BC=AB=4$\sqrt{2}$，AC⊥BD，∠ACB=∠CBD=45°，由等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)求出∠FPE=∠OBP，由AAS證明△PEF≌△BPO，即可得出結(jié)論；
（2）作PG⊥BC于G，則PG∥AB，PG=CG，BG=EG，由平行線得出△PCG∽△ACB，得出對應邊成比例求出CG=PG=4$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，得出BG=BC-CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，BE=$\sqrt{2}$x，由三角形的面積公式即可得出答案；
（3）求出△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$÷$\sqrt{2}$=16，由△PBE的面積是△ABC面積的$\frac{3}{8}$得出方程，解方程即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AB=4$\sqrt{2}$，AC⊥BD，∠ACB=∠CBD=45°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=8，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∵∠PBE=∠CBD+∠OBP，∠PEB=∠ACB+∠FPE，
∴∠FPE=∠OBP，
∵EF⊥AC，
∴∠PFE=∠BOP=90°，
在△PEF和△BPO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PFE=∠BOP}&{\;}\\{∠FPE=∠OBP}&{\;}\\{PE=PB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PEF≌△BPO（AAS），
∴PF=BO；

（2）解：作PG⊥BC于G，如圖所示：
則PG∥AB，PG=CG，BG=EG，
∴△PCG∽△ACB，
∴$\frac{PG}{AB}=\frac{PC}{AC}$，即$\frac{PG}{4\sqrt{2}}=\frac{8-x}{8}$，
∴CG=PG=4$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴BG=BC-CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴BE=$\sqrt{2}$x，
∴△PBE的面積y=$\frac{1}{2}$BE•PG=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$x×（4$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x），
即y=-$\frac{1}{2}$x²+4x（0＜x＜8）；

（3）解：存在，理由如下：
△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$÷$\sqrt{2}$=16，
若△PBE的面積是△ABC面積的$\frac{3}{8}$，
則=-$\frac{1}{2}$x²+4x=$\frac{3}{8}$×16=6，
解得：x=2或x=6，
即AP的長為2或6．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積的計算等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．