Question

圖①所示的是一個三角形，分別連接這個三角形三邊的中點得到圖②，再分別連接圖②中間的小三角形三邊的中點，得到圖③，按此方法繼續(xù)連接，請你根據(jù)每個圖中三角形的個數(shù)的規(guī)律完成各題．

（1）將如圖填寫完整：

圖形編號	①	②	③	④	…
三角形個數(shù)	1	5			…

按照你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出編號為的圖形中三角形的個數(shù)

 

；（用含n的代數(shù)式表示）
（2）按照上述方法，編號為2014的圖形中共有多少個三角形？是否存在某一編號的圖形，該圖形中三角形的個數(shù)為2014？如果存在，請求出該圖形的編號；如果不存在，請簡述理由；
（3）按照上述方法，是否存在某一編號的圖形，該圖形中三角形的個數(shù)為k²+3k+2（k為正整數(shù)）？如果存在，請求出該圖形的編號（用含k的代數(shù)表示）如果不存在，請簡述理由．

Answer 1

考點：規(guī)律型：圖形的變化類

專題：

分析：（1）可直接通過圖形寫出三角形的個數(shù)；找出規(guī)律得出編號為的圖形中三角形的個數(shù)；
（2）把n=2014代入（1）中的代數(shù)式球的答案；列方程計算，n必須是整數(shù)才存在，否則不存在；
（3）通過n和k的取值，計算得出數(shù)據(jù)的奇偶性分析得出答案即可．

解答： 解：（1）填表如下：

圖形編號	①	②	③	④	…
三角形個數(shù)	1	5	9	13	…

編號為的圖形中三角形的個數(shù)4n-3；
（2）當(dāng)n=2014時，4×2014-3=8053，
令4n-3=2014，解得n=504.25
因為504.25不是正整數(shù)，所以不存在某一編號的圖形，該圖形中三角形的個數(shù)為2014．
（3）當(dāng)n為正整數(shù)時，4n-3為奇數(shù)；
而當(dāng)k為奇數(shù)，k²+3k+2為偶數(shù)，
當(dāng)k為偶數(shù)，k²+3k+2為偶數(shù)，
所以不存在某一編號的圖形，該圖形中三角形的個數(shù)為k²+3k+2．

點評：此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，找出數(shù)字的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．