Question

20．如圖，拋物線y=-2x²+4x+1交y軸點A，頂點是M，點B是x軸上的一個動點，連結(jié)AB，BM，將線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BC的位置，當(dāng)BM平分∠ABC時，點B的坐標是（1，0）或（2，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的解析式求得A、M的坐標，設(shè)B（a，0），作CD⊥x軸于D，證得△AOB≌△BDC，求得BD=OA=1，CD=OB=a，得出C（1+a，a），然后證得△AMB≌△CMB，求得AM=CM，進而根據(jù)勾股定理得出關(guān)于a的方程，解方程即可求得．

解答 解：∵拋物線y=-2x²+4x+1=-2（x-1）+3交y軸點A，頂點是M，
∴A（0，1），M（1，3），
設(shè)B（a，0），
作CD⊥x軸于D，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBD，
∵∠AOB=∠BDC=90°，
在△AOB和△BDC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠CBD}\\{∠AOB=∠BDC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△BDC，
∴BD=OA=1，CD=OB=a，
∴C（1+a，a），
在△AMB和△CMB中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠CBM}\\{BM=BM}\end{array}\right.$
∴△AMB≌△CMB，
∴AM=CM，
∴（1+a-1）²+（a-3）²=（0-1）²+（1-3）²，
解得a₁=2，a₂=1，
∴B（2，0）或（1，0）．
故答案為（2，0）或（1，0）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象于幾何變換，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．