Question

20．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC與BD相交于O，E為DC的一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OF⊥OE交BC于F．記d=$\sqrt{D{E^2}+B{F^2}}$，則關(guān)于d的正確的結(jié)論是（　�。�

• A． d=5
• B． d＜5
• C． d≤5
• D． d≥5

Answer 1

分析 延長(zhǎng)EO交AB于G，根據(jù)ASA可證△DOE≌△BOG，可得BG=DE，則d=$\sqrt{D{E^2}+B{F^2}}$，即為FG的長(zhǎng)；過O點(diǎn)作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，可得△OHG∽△OFI，設(shè)BG=x，用x表示出BF，再根據(jù)函數(shù)的最值即可求解．

解答 解：延長(zhǎng)EO交AB于G，連結(jié)GF．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AB∥CD，
∴∠OBG=∠OED，
在△DOE與△BOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBG=∠ODD}\\{OB=OD}\\{∠BOG=∠DOE}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOG（ASA），
∴BG=DE，
∴d=$\sqrt{D{E^2}+B{F^2}}$=FG；
過O點(diǎn)作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，可得△OHG∽△OFI，
設(shè)BG=x，則HG=3-x，
則IF：HG=4：3，
IF=4-$\frac{4}{3}$x，
BF=4+4-$\frac{4}{3}$x=8-$\frac{4}{3}$x，
d=$\sqrt{{x}^{2}+（8-\frac{4}{3}x）^{2}}$=$\sqrt{\frac{25}{9}（x-\frac{96}{25}）^{2}+\frac{576}{25}}$，
∵0≤x≤3，
∴當(dāng)x=3時(shí)，d最小為5，即d≥5．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是設(shè)BG=x，用x表示出BF．