Question

20．問題背景：已知∠EDF的頂點D在△ABC的邊AB所在直線上（不與A，B重合），DE交AC所在直線于點M，DF交BC所在直線于點N，記△ADM的面積為S₁，△BND的面積為S₂．
（1）初步嘗試：如圖①，當△ABC是等邊三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2時，則S₁•S₂=12；
（2）類比探究：在（1）的條件下，先將點D沿AB平移，使AD=4，再將∠EDF繞點D旋轉至如圖②所示位置，求S₁•S₂的值；
（3）延伸拓展：當△ABC是等腰三角形時，設∠B=∠A=∠EDF=α．
（Ⅰ）如圖③，當點D在線段AB上運動時，設AD=a，BD=b，求S₁•S₂的表達式（結果用a，b和α的三角函數表示）．
（Ⅱ）如圖④，當點D在BA的延長線上運動時，設AD=a，BD=b，直接寫出S₁•S₂的表達式，不必寫出解答過程．

Answer 1

分析 （1）首先證明△ADM，△BDN都是等邊三角形，可得S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•2²=$\sqrt{3}$，S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（4）²=4$\sqrt{3}$，由此即可解決問題；
（2）如圖2中，設AM=x，BN=y．首先證明△AMD∽△BDN，可得$\frac{AM}{BD}$=$\frac{AD}{BN}$，推出$\frac{x}{2}$=$\frac{4}{y}$，推出xy=8，由S₁=$\frac{1}{2}$•AD•AM•sin60°=$\sqrt{3}$x，S₂=$\frac{1}{2}$DB•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y，可得S₁•S₂=$\sqrt{3}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$y=$\frac{3}{2}$xy=12；
（3）Ⅰ如圖3中，設AM=x，BN=y，同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S₁=$\frac{1}{2}$•AD•AM•sinα=$\frac{1}{2}$axsinα，S₂=$\frac{1}{2}$DB•BN•sinα=$\frac{1}{2}$bysinα，可得S₁•S₂=$\frac{1}{4}$（ab）²sin²α．
（Ⅱ）結論不變，證明方法類似；

解答 解：（1）如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，
∵DE∥BC，∠EDF=60°，
∴∠BND=∠EDF=60°，
∴∠BDN=∠ADM=60°，
∴△ADM，△BDN都是等邊三角形，
∴S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•2²=$\sqrt{3}$，S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（4）²=4$\sqrt{3}$，
∴S₁•S₂=12，
故答案為12．

（2）如圖2中，設AM=x，BN=y．

∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，
∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，
∴△AMD∽△BDN，
∴$\frac{AM}{BD}$=$\frac{AD}{BN}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{4}{y}$，
∴xy=8，
∵S₁=$\frac{1}{2}$•AD•AM•sin60°=$\sqrt{3}$x，S₂=$\frac{1}{2}$DB•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y，
∴S₁•S₂=$\sqrt{3}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$y=$\frac{3}{2}$xy=12．

（3）Ⅰ如圖3中，設AM=x，BN=y，

同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab，
∵S₁=$\frac{1}{2}$•AD•AM•sinα=$\frac{1}{2}$axsinα，S₂=$\frac{1}{2}$DB•BN•sinα=$\frac{1}{2}$bysinα，
∴S₁•S₂=$\frac{1}{4}$（ab）²sin²α．

Ⅱ如圖4中，設AM=x，BN=y，

同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab，
∵S₁=$\frac{1}{2}$•AD•AM•sinα=$\frac{1}{2}$axsinα，S₂=$\frac{1}{2}$DB•BN•sinα=$\frac{1}{2}$bysinα，
∴S₁•S₂=$\frac{1}{4}$（ab）²sin²α．

點評 本題考查幾何變換綜合題、等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、相似三角形的判定和性質、三角形的面積公式．銳角三角函數等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．