Question

11．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，將△ABC繞點A順時針方向旋轉60°到△AB′C′的位置，連接C′B，則C′B=$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 連接BB′，根據旋轉的性質可得AB=AB′，判斷出△ABB′是等邊三角形，根據等邊三角形的三條邊都相等可得AB=BB′，然后利用“邊邊邊”證明△ABC′和△B′BC′全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延長BC′交AB′于D，根據等邊三角形的性質可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根據等邊三角形的性質和等腰直角三角形的性質求出BD、C′D，然后根據BC′=BD-C′D計算即可得解．

解答 解：如圖，連接BB′，
∵△ABC繞點A順時針方向旋轉60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等邊三角形，
∴AB=BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BB′\\;}\\{AC′=B′C′}\\{BC′=BC′}\end{array}\right.$，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠ABC′=∠B′BC′，
延長BC′交AB′于D，
則BD⊥AB′，
∵∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{（{\sqrt{2}）}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
∴BD=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
C′D=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴BC′=BD-C′D=$\sqrt{3}$-1．
故答案為：$\sqrt{3}$-1．

點評 本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，作輔助線構造出全等三角形并求出BC′在等邊三角形的高上是解題的關鍵，也是本題的難點．