Question

4．已知該拋物線y=x²+bx+c，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-4，0）和點(diǎn)A（1，0）與y軸交于點(diǎn)C．

（1）確定拋物線的表達(dá)式，并求出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線l交拋物線于點(diǎn)E，且滿足∠EBO=∠ACB，求出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)，并說(shuō)明理由；
（3）如圖2，M，N是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M在左，點(diǎn)N在右），分別過(guò)點(diǎn)M，N作PM∥x軸，PN∥y軸，PM，PN交于點(diǎn)P．點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)時(shí)，且始終保持MN=$\sqrt{2}$不變，當(dāng)△MNP的面積最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出直線MN的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（2）根據(jù)勾股定理，可得BC的長(zhǎng)，根據(jù)等角的正切值相等，可得HO的長(zhǎng)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得BE的解析式，根據(jù)解方程組，可得E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由題意△PMN是等腰直角三角形，得PM=PN=1，設(shè)M（a，a²+3a-4）則N（a+1，a²+3a+1）或（a+1，a²+3a-5），代入拋物線的解析式即可求解．

解答 解：（1）y=x²+bx+c，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-4，0）和點(diǎn)A（1，0），得
$\left\{\begin{array}{l}{（-4）^{2}-4b+c=0}\\{1+b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=x²+3x-4，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，
C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4）；
（2）如圖：

由題意，得OB=OC=4，BC=4$\sqrt{2}$，
設(shè)l₁與y軸交于點(diǎn)H，過(guò)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，△ADB是等腰直角三角形，．
∵AD=BD=AB•sin45°$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，CD=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，∠ACB=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{5}{3}$．
∵∠ACB=∠EBA，
∴HO=$\frac{BO}{tan∠EBA}$=$\frac{20}{3}$，H（0，$\frac{20}{3}$），
設(shè)直線l₁的解析式為y=kx+b，將B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
k=$\frac{5}{3}$，
l₁的解析式為y=$\frac{5}{3}$x+$\frac{20}{3}$，
聯(lián)立拋物線與l₁，得$\frac{5}{3}$x+$\frac{20}{3}$=x²+3x-4，
解得x=$\frac{8}{3}$，E₁（$\frac{8}{3}$，$\frac{100}{9}$）；
同理l₂：y=-$\frac{5}{3}$x-$\frac{20}{3}$，
-$\frac{5}{3}$x-$\frac{20}{3}$=x²+3x-4，
解得x=-$\frac{2}{3}$，E₂（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{50}{9}$），
綜上所述：E₁（$\frac{8}{3}$，$\frac{100}{9}$），E₂（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{50}{9}$）；
（3）∵△PMN是直角三角形，斜邊MN=$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)△PMN面積最大時(shí)，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=1，
由題意設(shè)M（a，a²+3a-4）則N（a+1，a²+3a-3）或（a+1，a²+3a-5），
∴a²+3a-3=（a+1）²+3（a+1）-4或a²+3a-5=（a+1）²+3（a+1）-4，
∴a=-$\frac{3}{2}$或-$\frac{5}{2}$．
①當(dāng)a=-$\frac{3}{2}$時(shí)，M（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$），N（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{21}{4}$），設(shè)直線MN為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}k+b=-\frac{25}{4}}\\{-\frac{1}{2}k+b=-\frac{21}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-\frac{19}{4}}\end{array}\right.$，所以直線MN為y=x-$\frac{19}{4}$．
②當(dāng)a=-$\frac{5}{2}$時(shí)，M（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{21}{4}$），N（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$），設(shè)直線MN為y=k′x+b′，則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{2}k′+b′=-\frac{21}{4}}\\{-\frac{3}{2}k′+b′=-\frac{25}{4}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k′=-1}\\{b′=-\frac{31}{4}}\end{array}\right.$，所以直線MN為y=-x-$\frac{31}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)、一次函數(shù)、直角三角形等知識(shí)，掌握兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組的解的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵，還要記住一個(gè)結(jié)論斜邊為定值時(shí)直角邊相等時(shí)面積最大．