Question

9．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點M、N分別在邊AD和BC上，沿MN折疊四邊形ABCD，使點A、B分別落在A₁、B₁處，得四邊形A₁B₁NM，其中點B₁在DC上，過點M作ME⊥BC于點E，連接BB₁，給出下列結(jié)論：①∠MNB₁=∠ABB₁；②△MEN∽△BCB₁；③$\frac{MN}{B{B}_{1}}$的值為定值；④當B₁C=$\frac{1}{2}$DC時，AM=$\frac{17}{8}$，其中正確結(jié)論的序號是①②③．（把所有正確結(jié)論的序號都在填在橫線上）

Answer 1

分析 由折疊可知∠MNB₁=∠BNM，MN⊥BB₁，再根據(jù)同角的余角相等的性質(zhì)和等量關(guān)系即可判定①正確；根據(jù)AA可證△MEN∽△BCB₁，可判定②正確；
根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和等量關(guān)系可得$\frac{MN}{B{B}_{1}}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，為定值，可判定③正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理可得AM=BE=BN-NE=$\frac{17}{8}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{13}{8}$，可判定④不正確；從而求解．

解答 解：由折疊可知∠MNB₁=∠BNM，MN⊥BB₁，
∴∠BNM+∠B₁BN=90°，
∵∠ABB₁+∠B₁BN=90°，
∴∠BNM=∠ABB₁，
∴∠MNB₁=∠ABB₁，故①正確；
∵ME⊥BC，
∴∠MNE+∠NME=90°，
由由折疊的性質(zhì)可得MN⊥BB₁，
∴∠MNE+∠B₁BN=90°，
∴∠NME=∠BB₁N，
∴△MEN∽△BCB₁，
故②正確；
由②可知$\frac{MN}{B{B}_{1}}$=$\frac{ME}{BC}$，
∵ME=AB=2，BC=4，
∴$\frac{MN}{B{B}_{1}}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，為定值，故③正確；
∵△MEN∽△BCB₁，
∴$\frac{NE}{{B}_{1}C}$=$\frac{ME}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴NE=$\frac{1}{2}$B₁C，
若B₁C=$\frac{1}{2}$DC，
則NE=$\frac{1}{4}$DC=$\frac{1}{4}$×2=$\frac{1}{2}$，
設(shè)BN=x，則NC=4-x，B₁N=x，
在Rt△B₁NC中，由勾股定理可得x²=（4-x）²+1²，
解得x=$\frac{17}{8}$，
∴AM=BE=BN-NE=$\frac{17}{8}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{13}{8}$，故④不正確．
故答案為：①②③．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)，熟記翻折前后的兩個圖形能夠完全重合得到相等的邊和角是解題的關(guān)鍵．．