Question

17．如圖1，等邊三角形ABC的邊長為4，直線l經過點A并與AC垂直．當點P從點A開始沿射線AM運動，連接PC，并將△ACP繞點C按逆時針方向旋轉60°得到△BCQ，記點P的對應點為Q，線段PA的長為m（m≥0），當點Q恰好落在直線l上時，點P停止運動．
（1）在圖1中，當∠ACP=20°，求∠BQC的值；
（2）在圖2中，已知BD⊥l于點D，QE⊥l于點E，ΩF⊥BD于點F，試問：∠BQF的值是否會隨著點P的運動而改變？若不會，求出∠BQF的值；若會，請說明理由．
（3）在圖3中，連接PQ，記△PAQ的面積為S，請求出S與m的函數關系式（注明m的取值范圍），并求出當m為何值時，S有最大值？最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形兩銳角互余即可解答；
（2）設∠ACP=α，可求出∠ACQ=60°-α，由CA∥EQ，得到∠EQC=120°+α，易證四邊形EDFQ是矩形，可知∠EQF=90°，又在Rt△BQC中，∠BQC=90°-α，可知∠BQF=360°-∠EQC-∠EQF-∠BQC=60°，故∠BQF的值不會隨點P的運動而改變大小，始終為一定值．
（3）線段PA的長為m，用m表示出EQ，根據S=$\frac{1}{2}$AP•EQ，可得到S與m的函數關系式，然后用二次函數的性質求出最大值．

解答 解：（1）∵AC⊥l，
∴∠CAP=90°，
又∵∠ACP=20°，
∴∠APC=70°，
由旋轉的性質可知∠BQC=∠APC，
∴∠BQC=70°；
（2）∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=60°，
由旋轉的性質可知∠ACP=∠BCQ，
∴∠PCQ=∠ACB=60°，
設∠ACP=α，
∴∠ACQ=60°-α，
∵AC⊥l，EQ⊥l，
∴AC∥EQ，
∴∠CEQ=180°-（60°-α）=120°+α，
又∵BD⊥l，QE⊥l，QF⊥BD，
∴四邊形DEQF是矩形，
∴∠EQF=90°，
又∵∠BQC=∠APC=90°-α，
∠BQF=360°-90°-（120°+α）-（90°-α）=60°；  
∴∠BQF的值不會隨點P的運動而改變大小，始終為一定值，此定值為60°；
（3）∵AP=4，BD⊥l，∠BAD=90°-60°=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵QB=AP=m，BD⊥QF，∠BQF=60°，
∴BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}m$，又四邊形DEQF是矩形，
∴EQ=DF=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}m$，
∴S=$\frac{1}{2}$AP•EQ=$\frac{1}{2}$m（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m），
即S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+m（0≤m≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
當m=-$\frac{1}{2×（-\frac{\sqrt{3}}{4}）}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，
∵-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜0，0＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴S有最大值，最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查了幾何知識的綜合運用和幾何變換，求角度的定值問題，求函數表達式及求最值是利用代數方法解決幾何問題，本題意在加強學生的圖形與幾何的邏輯推理以及代數幾何綜合能力．