Question

19．如圖，△ABC中，AB=AC，△ABC∽△AED，且D是BC邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），作EF∥BC交AB于點(diǎn)F．求證：四邊形CDEF是平行四邊形．

Answer 1

分析 連接BE，由相似三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAC=∠EAB，AD=AE，由SAS證明△ACD≌△ABE，得出DC=EB，∠1=∠4，由等腰三角形和平行線的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠2=∠3，得出∠3=∠4，證出EB=EF，因此EF∥DC，EF=DC，即可得出結(jié)論．

解答 證明：連接BE，如圖所示：
∵AB=AC，△ABC∽△AED，
∴∠BAC=∠EAD，$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AE}$，
∴∠DAC=∠EAB，AD=AE，
在△ACD和△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}&{\;}\\{∠DAC=∠EAB}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴DC=EB，∠1=∠4，
∵AB=AC，EF∥BC，
∴∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠3=∠4，
∴EB=EF，
∴EF∥DC，EF=DC，
∴四邊形CDEF是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定、相似三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題有一定難度，證明三角形全等是解決問(wèn)題的突破口．