Question

9．已知等腰三角形ABC和DBE的底角共頂點，AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE，以線段AD和AC為鄰邊作?ACFD，連接CE．
（1）如圖1，B、D、C依次在同一條直線上，若∠BAC=∠BDE=60°，則∠ECF=60°．
（2）如圖2，B、D、C依次在同一條直線上，若∠BAC=∠BDE=90°，則∠ECF=45°．
請你完成（1）、（2）兩個命題，并從中任選一個進行證明．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得到△ABC與△BDE是等邊三角形，推出△ABD≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質得到∠BAD=∠BCE，由四邊形ADFC是平行四邊形，得到AD∥CF，根據(jù)平行線的性質得到∠ADC=∠DCF，由外角的性質得到∠ADC=∠ABC+∠BAD，∠DCF=∠BCE+∠ECF，即可得到結論．
（2）由已知條件得到△ABC與△BDE是等腰直角三角形，求得AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，∠ABC=∠DBE=45°，推出△ABD∽△BCE，根據(jù)相似三角形的性質得到∠ADC=∠DCF，由外角的性質得到∠ADC=∠ABC+∠BAD，∠DCF=∠BCE+∠ECF，即可得到結論．

解答 解：（1）∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=60°，
∴△ABC與△BDE是等邊三角形，
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE=60°，
在△ABD與△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠DBE}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠BCE，
∵四邊形ADFC是平行四邊形，
∴AD∥CF，
∴∠ADC=∠DCF，
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，∠DCF=∠BCE+∠ECF，
∴∠ECF=∠ABC=60°，
故答案為：60°；

（2）∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=90°，
∴△ABC與△BDE是等腰直角三角形，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，∠ABC=∠DBE=45°，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{BD}$，
∴△ABD∽△BCE，
∴∠ADC=∠DCF，
∵四邊形ADFC是平行四邊形，
∴AD∥CF，
∴∠ADC=∠DCF，
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，∠DCF=∠BCE+∠ECF，
∴∠ECF=∠ABC=45°，
故答案為：45°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．