Question

2．如圖甲，平面直角坐標系中，邊長為2的正方形ABCD頂點A與原點重合，邊AB、AD落在坐標軸上，在正方形內有AE=2，過點E作直線MN⊥AE交BC、CD分別于M、N，連接AM、AN．
（1）在圖甲中，直接寫出：∠MAN=45°，△MCN的周長=4．
（2）在圖甲中，設BM=x，求DN的長（用含x的式子表示）．
（3）若線段AE=2在正方形外（只考慮第三象限），請在圖乙中作出相應的圖形，探索線段BM、MN、DN三者之間的關系并給出證明．

Answer 1

分析 （1）證得Rt△AEN≌Rt△ADN，Rt△ABM≌△AEN，得出∠EAN=∠DAN，∠BAM=∠EAM，EN=DN，ME=BM，得出∠MAN=45°，△MCN的周長=4；
（2）由Rt△AEN≌Rt△ADN，Rt△ABM≌△AEN，得到EN=DN，ME=BM，設BM=x，DN=m，則MC=2-x，CN=2-m，在Rt△CMN中，利用勾股定理CM²+CN²=MN²，即可解答；
（3）連接AM，證Rt△AEM≌Rt△ABM，連接AN，證Rt△AEN≌Rt△ADN，從而得DN=BM+MN；

解答 解：（1）∠MAN=45°，△MCN的周長=4；
故答案為：45，4；
（2）∵Rt△AEN≌Rt△ADN，Rt△ABM≌△AEN，
∴EN=DN，ME=BM，
設BM=x，DN=m，則MC=2-x，CN=2-m，
∴MN=x+m，
在Rt△CMN中，CM²+CN²=MN²
即（2-x）²+（2-m）²=（x+m）²
解得：m=$\frac{4-2x}{x+2}$
即DN=$\frac{4-2x}{x+2}$．
（3）如圖乙，
連接AM，AN，
在Rt△AEM和Rt△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEM≌Rt△ABM，
∴EM=BM，
在Rt△AEN和Rt△ADN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEN≌Rt△ADN，
∴DN=NE=MN+ME=MN+BM，
即DN=BM+MN．

點評 此題考查四邊形的綜合題，綜合考查了正方形的性質，三角形全等的判定與性質，勾股定理以及三角形的面積計算，正確做出輔助線，掌握三角形全等的判定方法是解決問題的關鍵．