Question

15．如圖，在正方形ABCD，M、N是對角線AC上的兩點，且AM=CN，連接DM并延長，交AB于點F，連接BN并延長，交DC于點E．連接BM、DN．
（1）求證：四邊形MBND為菱形；
（2）求證：△MFB≌△NED．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于O，先證明四邊形BMDN是平行四邊形，再根據(jù)NM⊥BD即可證明．
（2）先證明四邊形BFDE是平行四邊形，得到∠BFM=∠DEN，再證明BM=DN，∠BMF=∠DNE即可解決問題．

解答 （1）證明：連接BD交AC于O．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AM=CN，
∴OM=ON，∵OB=OD，
∴四邊形MBND是平行四邊形，
∵MN⊥DB，
∴四邊形MBND是菱形．

（2）證明：∵四邊形MBND是菱形，
∴DM∥NB，BM=DN，∠DMB=∠DNB，
∴∠BMF=∠DNE，
∵BF∥DE，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∴∠BFM=∠DEN，
在△MFB和△NED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFM=∠DEN}\\{∠NMF=∠DNE}\\{MB=DN}\end{array}\right.$，
∴△MFB≌△NED．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，屬于中考�？碱}．