Question

⊙O的半徑為5，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)D在直線AB上．
（1）如圖（1），已知∠BCD=∠BAC，求證：CD是⊙O的切線；
（2）如圖（2），CD與⊙O交于另一點(diǎn)E．BD：DE：EC=2：3：5，求圓心O到直線CD的距離；
（3）若圖（2）中的點(diǎn)D是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)C，D，E在三點(diǎn)中，其中一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)的情形，問(wèn)這樣的情況出現(xiàn)幾次？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）連接OC，根據(jù)弦切角定理和圓的性質(zhì)可得到∠BCD=∠BAC=∠OCA，結(jié)合圓周角定理可求得∠OCD=90°，可證明CD是切線；
（2）先證明△BCD∽△EAD，結(jié)合條件可求得BD=2，DE=3，EC=5，在△OBC中可求得O到CD的距離；
（3）分點(diǎn)D在⊙O外和點(diǎn)D在⊙O內(nèi)兩種情況，當(dāng)D在⊙O外時(shí)又分D在A點(diǎn)左邊和D在B點(diǎn)右邊兩種情況，當(dāng)D在⊙O內(nèi)時(shí)只有一種，結(jié)合圖形可給出答案．

解答：（1）證明：如圖（1），連接OC，

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BCD=∠BAC=∠OCA，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：∵∠ADE=∠CDB，∠BCD=∠EAD，
∴△BCD∽△EAD，
∴

CD

AD

=

BD

ED

，
∴

CE+ED

AB+BD

=

BD

ED

，
又∵BD：DE：EC=2：3：5，⊙O的半徑為5，
∴BD=2，DE=3，EC=5，
如圖（2），連接OC、OE，則△OEC是等邊三角形，
作OF⊥CE于F，則EF=

1

2

CE=

5

2

，∴OF=

5

2

3

，
∴圓心O到直線CD的距離是

5

2

3

．

（3）解：這樣的情形共有出現(xiàn)三次：
當(dāng)點(diǎn)D在⊙O外時(shí)，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，有以下兩種情形，如圖1、圖2；
當(dāng)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)時(shí)，點(diǎn)D是CE中點(diǎn)，有以下一種情形，如圖3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用．在（1）中掌握好切線的兩種證明方法，①有切點(diǎn)時(shí)連接圓心和切點(diǎn)證明垂直，②無(wú)切點(diǎn)時(shí)作垂直證明距離等于半徑；在（2）中注意利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求得線段的長(zhǎng)度；在（3）中注意分類(lèi)討論．本題難度適中，屬于基礎(chǔ)性的綜合．