Question

13．（1）如圖1，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，4）、B（4，1）、C（4，4），若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與△ABC有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是4≤k≤16；
（2）把圖1中的△ABC沿直線AB翻折后得到△ABC₁，若雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）與△ABC₁有公共點(diǎn)，求m的取值范圍；
小明借助一元二次方程根的判斷式圓滿地解決了這個(gè)問題，小芳借助二次函數(shù)模型也圓滿地解決了這個(gè)問題．請你先在圖2中畫出△ABC₁，再寫出自己的解答過程．
（3）如圖3，已知點(diǎn)A為（1，2），點(diǎn)B為（4，1），若雙曲線y=$\frac{n}{x}$（x＞0）與線段AB有公共點(diǎn)，則n的取值范圍是2≤n≤$\frac{49}{12}$．

Answer 1

分析 （1）分別求得雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與邊AC，邊BC有公共點(diǎn)的k的取值范圍，然后求得直線AB的解析式，利用一元二次方程根的判別式求得與邊AB有公共點(diǎn)的k的取值范圍，則可求得答案；
（2）首先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）與邊AC，邊BC有公共點(diǎn)的k的取值范圍，由（1）可求得與邊AB的取值范圍，繼而求得答案；
（3）首先求得線段AB的解析式以及自變量的取值范圍，再利用一元二次方程根的判別式求得答案．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
∵A（1，4）、B（4，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-x+5，
∵△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，4）、B（4，1）、C（4，4），
∴若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與邊AC有公共點(diǎn)，則4≤k≤16，
若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與邊BC有公共點(diǎn)，則4≤k≤16，
若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與邊AB有公共點(diǎn)，則$\frac{k}{x}$=-x+5（1≤x≤4），
即x²-5x+k=0，
∴△=25-4k≥0，
解得：k≤$\frac{25}{4}$，
∴若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與邊AB有公共點(diǎn)，則4≤k≤$\frac{25}{4}$；
綜上可得：若雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與△ABC有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是：4≤k≤16；
故答案為：4≤k≤16；

（2）如圖，則點(diǎn)C₁（1，1），
由（1）得：若雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）與邊AB有公共點(diǎn)，則4≤m≤$\frac{25}{4}$，
∵若雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）與邊AC有公共點(diǎn)，則1≤k≤4，
若雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）與邊BC有公共點(diǎn)，則1≤k≤4，
綜上可得：若雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）與△ABC有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是：1≤k≤$\frac{25}{4}$；

（3）如圖3，設(shè)直線AB的解析式為：y=mx+n，
∵點(diǎn)A為（1，2），點(diǎn)B為（4，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2}\\{4m+n=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{3}}\\{n=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{7}{3}$（1≤x≤4），
若雙曲線y=$\frac{n}{x}$（x＞0）與線段AB有公共點(diǎn)，
則$\frac{n}{x}$=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{7}{3}$，
整理得：x²-7x+3n=0，
∴△=49-12n≥0，
∴n≤$\frac{49}{12}$，
∵1≤x≤4，
∴n≥2，
∴若雙曲線y=$\frac{n}{x}$（x＞0）與線段AB有公共點(diǎn)，則n的取值范圍是：2≤n≤$\frac{49}{12}$．
故答案為：2≤n≤$\frac{49}{12}$．

點(diǎn)評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了直線與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題以及一元二次方程的根的判別式．注意能借助一元二次方程根的判斷式求解是關(guān)鍵．