Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，D、E分別為邊AB、AC的中點，連結(jié)DE．點P從點A出發(fā)，沿折線AE-ED運動，到點D停止．點P在折線AE-ED上以每秒1個單位的速度運動．過點P作PQ⊥BC于點Q，以PQ為邊在PQ右側(cè)作正方形PQMN，使點M落在線段BC上．設(shè)點P的運動時間為t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)正方形PQMN的頂點N落在AB邊上時，求t的值；
（2）連結(jié)BE，設(shè)正方形PQMN與△BED重疊部分圖形的面積為S，請直接寫出當(dāng)3≤t≤9時，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）當(dāng)正方形PQMN的頂點P運動到與點E重合時，將正方形PQMN繞點Q逆時針旋轉(zhuǎn)60°得正方形P₁QM₁N₁，問在直線DE與直線AC上是否存在點G和點H，使△GHP₁是等腰直角三角形？若存在，請求出EG的長；若不存在，請說明理由（備用圖可用于探究）．

Answer 1

分析 （1）分兩種情形，①當(dāng)點P在AE上時，如圖1中，由△APN∽△ACB可以解決問題，②當(dāng)點P在ED上時，PN=3，如圖2中求出AE+EP即可、
（2）①如圖3中，當(dāng)3≤t≤6時，重疊部分圖形為四邊形PGKN，如圖4中，②如圖4中，當(dāng)6＜t≤9，重疊部分是五邊形PGKHD，分別求出即可．
（3）分三種切線討論即可①當(dāng)∠P₁GH=90°，②當(dāng)∠P₁HG=90°，③當(dāng)∠GP₁H=90°時．

解答 解：（1）①當(dāng)點P在AE上時，如圖1中，

∵PN∥BC，
∴△APN∽△ACB，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{PN}{BC}$，
∴$\frac{t}{6}$=$\frac{6-t}{12}$，
∴t=2；
②當(dāng)點P在ED上時，PN=3，如圖2，

∴AE+EP=3+（6-3）=6，
∴t=6；
綜上可得t的值為2或6時，正方形PQMN的頂點N落在AB邊上；
（2）如圖3中，當(dāng)3≤t≤6時，重疊部分圖形為四邊形PGKN，

∵GQ∥EC，
∴$\frac{GQ}{EC}$=$\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{GQ}{3}$=$\frac{15-t}{12}$，
∴QG=$\frac{1}{4}$（15-t），PG=3-GQ=$\frac{t-3}{4}$，同理可知NK=$\frac{t}{4}$，
∴S=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{4}$（t-3）+$\frac{1}{4}$t]•3=$\frac{3}{4}$t-$\frac{9}{8}$．
如圖4中，當(dāng)6＜t≤9，重疊部分是五邊形PGKHD，

S=S_{四邊形PGHN}-S_△DNH=-$\frac{1}{4}t$²+$\frac{15}{4}$t-$\frac{81}{8}$．
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}t-\frac{9}{8}}&{（3≤t≤6）}\\{-\frac{1}{4}{t}^{2}+\frac{15}{4}t-\frac{81}{8}}&{（6＜t≤9）}\end{array}\right.$．

（3）存在．理由如下：
過P₁作P₁S⊥AC于S，P₁R⊥DE于R，
∵∠P₁QS=60°，P₁Q=3，
∴P₁S=RE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，QS=$\frac{3}{2}$，
∴P₁R=SE=$\frac{3}{2}$．8分
①當(dāng)∠P₁GH=90°時，如圖5中，

可證△P₁RG≌△GEH，
則EG=P₁R=$\frac{3}{2}$；如圖6中，同理可得EG=P₁R=$\frac{3}{2}$．
②當(dāng)∠P₁HG=90°時，如圖7中，

可證△P₁SH≌△HEG，
∴EH=P₁S=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，EG=SH，
∴EG=EH+SE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{2}$，
或如圖8中，EG=EH-SE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{2}$；


③當(dāng)∠GP₁H=90°時，
∵P₁S≠P₁R，∴△P₁SH與△P₁RG不可能全等．
∴P₁H≠P₁G，∴不成立．
綜上，EG的長為$\frac{3}{2}$或$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{2}$或$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查相似形綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會正確畫出圖形，學(xué)會利用分割法求面積，學(xué)會分類討論注意不能漏解，屬于中考壓軸題．