Question

16．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D點，把△ACD繞著A點順時針旋轉(zhuǎn)，使得AC與AB重合，點D落在點E處，延長AE、CB相交于M點，延長EB、AD相交于N點．求證：AM=AN．

Answer 1

分析 由旋轉(zhuǎn)可以得出∠AEM=∠ADM=90°，就可以得出∠M=∠N，∠MAB=∠NAB就可以得出△ABM≌△ABN，由全等三角形的旋轉(zhuǎn)就可以得出結(jié)論．

解答 證明：∵AB=AC，AD⊥BC于D點，
∴∠ACD=∠ABD，∠CAD=∠BAD，∠ADC=ADB=90°．
∵△AEB是由△ADC旋轉(zhuǎn)得到的，
∴△AEB≌△ADC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，∠MAB=∠CAD．
∴∠AEB=∠ADB=90°．∠MAB=∠NAB
∴∠M+∠MAD=90°，∠N+∠EAN=90°，
∴∠M=∠N．
在△ABM和△ABN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠N}\\{∠MAB=∠NAB}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ABN（AAS），
∴AM=AN．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)的運用，直角三角形的旋轉(zhuǎn)的運用，全等三角形的判定及旋轉(zhuǎn)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．